狭义相对论

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沿着快速加速的观察者的世界线来看的时空。
竖直方向表示时间。水平方向表示距离，虚划线是观察者的时空轨迹（“世界线”）。图的下四分之一表示观察者可以看到的事件。上四分之一表示光锥- 将可以看到观察者的事件点。小点是时空中的任意的事件。
世界线的斜率（从竖直方向的偏离）给出了相对于观察者的速度。注意看时空的图像随着观察者加速时的变化。

狭义相对论是主要由爱因斯坦创立的时空理论，是对牛顿时空观的修正。如果把相对论中的低于光速的洛仑兹变换中的光速，設為無限大，剛好就是伽利略匀速切变变换。

[编辑] “物理学的两朵乌云”之迈克尔孙-莫雷实验

[编辑] 伽利略匀速切变变换与电磁学理论的不自洽

到19世纪末，以麦克斯韦方程组为核心的经典电磁理论的正确性已被大量实验所证实，但麦克斯韦方程组在经典力学的伽利略匀速切变变换下不具有协变性。而经典力学中的相对性原理则要求一切物理规律在伽利略匀速切变变换下都具有协变性。

[编辑] 迈克尔孙寻找以太的实验

为解决这一矛盾，物理学家提出了“以太假说”，即放弃相对性原理，认为麦克斯韦方程组只对一个绝对参考系（以太）成立。根据这一假说，由麦克斯韦方程组计算得到的真空光速是相对于绝对参考系（以太）的速度；在相对于“以太”运动的参考系中，光速具有不同的数值。

[编辑] 实验的结果——零结果

但斐索实验和迈克耳逊－莫雷实验表明光速与参考系的运动无关。实验结果暗示了绝对空间的影子——以太（ether）并不存在，那样绝对空间就失去它的真实存在的意义，而真正绝对的只是光在真空中的速度 $c$ 。在所有惯性参考系中，不存在谁比谁更加优越、特殊的情况。既然空间是相对的，那么牛顿观念里的绝对的时空也就没有意义了。

[编辑] 闵可夫斯基空间与洛仑兹坐标变换

[编辑] 闵可夫斯基的四维空间

[编辑] 洛仑兹坐标变换

狭义相对论中，洛仑兹变换描述时空中两个惯性参考系的时间、空间坐标之间的变换关系的。它最早由洛仑兹从以太说推出，用以解决经典力学与经典电磁学间的矛盾（即迈克尔孙-莫雷实验的零结果）。后被爱因斯坦用于狭义相对论。

廣義相對論

$G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu}= {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}\,$

入門
數學形式

基礎概念
狹義相對論等效原理世界線 · 黎曼幾何

现象
开普勒问题 · 引力时间延迟參考系拖拽 · 测地线效应引力透镜效应 · 重力波黑洞 · 视界 · 引力奇点

方程
線性化重力參數化後牛頓形式(PPN) 爱因斯坦场方程弗里德曼方程

進階理論
卡魯扎-克萊因理論量子重力

爱因斯坦场方程的解
史瓦茲旭爾得 · Kasner · 克爾克爾-紐曼·萊斯納-諾德斯特洛姆米尔恩 · 羅伯遜-沃爾克

科學家
爱因斯坦 - 闵可夫斯基 - 爱丁顿勒梅特 - 史瓦茲旭爾得罗伯逊 - 克爾 - 弗里德曼钱德拉塞卡 - 霍金

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[编辑] 形式

当两个参考系s与s'在t=0时重合，且s'相对s以速度v沿x轴正方向运动时，一个事件在s系的坐标(x,y,z,t)与在s'系的坐标(x',y',z',t')满足以下关系：

$x' = \frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

y' = y

z' = z

$t' = \frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

或使用矩阵乘法的形式，写作：

$\begin{bmatrix}x'\\ct'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&-\beta\gamma\\ -\beta\gamma&\gamma \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ct\end{bmatrix}$

其中

$\beta = \frac{v}{c}$

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ ，称为洛仑兹因子。

[编辑] 推导

[编辑] 注意事项

洛仑兹变换要求t=0时，x=0，y=0，z=0，且相对速度仅有x分量。
正如伽利略变换中x²+y²+z²为守恒量，洛仑兹变换中x²+y²+z²+(ict)²为守恒量。

[编辑] 爱因斯坦的狭义相对论

Diagram 2. Light cone

爱因斯坦意识到伽利略匀速切变变换就是牛顿全部经典时空观的体现，如果承认“真空光速独立于参考系”这一实验事实为基本原理，可以建立起一种新的时空观（相对论时空观）。在这一时空观下，由相对性原理即可导出洛仑兹匀速变换。1905年，爱因斯坦发表论文《论动体的电动力学》，建立狭义相对论，成功描述了在亚光速领域宏观物体的运动。

[编辑] 狭义相对论的基本原理

光速不变原理。

在所有惯性系中，真空中的光速都等于 $c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}=$ 299792458 m/s，与光源运动无关。迈克尔孙-莫雷实验是其有力证明。

狭义相对性原理。

在所有惯性系中，物理定律有相同的表达形式。这是力学相对性原理的推广，它适用于一切物理定律，其本质是所有惯性系平权。

狭义相对论，是仅描述平直线性的时空（指没有引力的，即闵可夫斯基时空）的相对论理论。牛顿的时空观认为运动空间是平直非线性的时空，可以用一个三维的速度空间来描述；时间并不是是独立于空间的单独一维，而是空间坐标的自变量。

狭义相对论同样认为空间和时间并不是相互独立的，而它们应该用一个统一的四维时空来描述，并不存在绝对的空间和时间。在狭义相对论中，整个时空仍然是平直线性的，所以在其中就存在“全局惯性系”。狭义相对论将「真空中，光速为常数」作为基本假设，结合狭义相对性原理和上述时空的性质可以推出洛仑兹匀速变换。

[编辑] 时间膨胀（爱因斯坦延缓）

當物體運動時，它內部所有一切的物理化學變化反應都會變慢的這種假說，就是時間膨脹 (簡稱時慢)。時慢假說認為等速運動的物體帶在身上的時鐘，用靜系觀察者的時鐘去測量, 不論運動方向, 測量結果動鐘都隨著運動速度增加而變慢.

動系的時間膨漲率 = 洛侖茲因子,

爱因斯坦利用畢氏定理以及假設光速對任何相對等速運動的觀察者都一樣就推論出:

動鐘計時值 t' = 靜鐘計時值t / 洛侖茲因子

假如有一個絕對靜止系，顯然, 我們就可以測得各種物體的絕對時慢。所以處於相對靜止系的我們，所得之一切時慢之觀測值，都是相對時慢的觀測值。例如由洛侖茲變換的假說去推論, 在動系的觀察者就測量出靜系的時間膨漲: t'= 洛侖茲因子 t, 同時也測量出靜系的長度縮收: x'=x/洛侖茲因子.

注意: 這裡假設的時間膨漲率，絕非只因為都卜勒效應讓時頻變低的視值。假設的時間膨漲率只跟受測物的相對速度有關，與近接或遠離的方向無關。遠離的都卜勒效應時頻視值[Fr=(C/(C+V'))F]是變慢的，但近接的都卜勒效應時頻視值[Fa=(C/(C-V'))F]是變快的。按照爱因斯坦延缓假說, 對靜系觀察者來說不論近接或遠離, 動系通過一段固定距離的時間都加長了. 也就是說通過那段固定距離的動系速度V'被靜系觀察者計算成比較慢的V, 慢率是洛侖茲因子, V=V'/洛侖茲因子. 所以靜系觀察者所測出的都卜勒效應被爱因斯坦延缓假說修改成為: Fr=(C/(C+(V'/洛侖茲因子)))F 和 Fa=(C/(C-(V'/洛侖茲因子)))F.

[编辑] 长度收缩（洛仑兹收缩）

洛侖茲收縮就是指當物體在運動時，在運動的那個軸向，會產生收縮。其收縮率，就是洛侖茲因子。其它軸向的長度，並不會有影響.

邁克耳遜－莫雷實驗那種實驗，就是洛侖茲收縮的最佳証明.

當然，被洛侖茲收縮的人事物本身，並不會察覺到被收縮了；從靜系看來，動系上的觀測者，就像拿著一根被收縮的尺，去測量被收縮的物體.

但是，因為絕對靜止系不可得，所以我們僅能測得相對短縮。因為我們不知道自己設定的靜止參考系，是否真的比我們要測的運動物體還要靜止。

假如運動物體上面有個觀測者，他又設定他的慣性系才是靜止的，那我們就變成他的動系了。當他觀測我們時，我們才是被收縮一方的，而他是正常的一方。

另外，洛侖茲收縮率，從移動電荷所產生的電場推遲的效應，也就可以推出來。

高速運動電荷產生的電場形變之等勢面，因為電場傳播不是無限快，所以必定會產生推遲，所以它向四周散發出的電場之等勢面，就不再是正球面對稱了。

[编辑] 同时的相对性

因為絕對靜止系不可得，所以各慣性系的觀測者，對於兩事件發生，僅能作出是否相對同時的判斷，而沒有辦法作出是否絕對同時的判斷，除非兩事件发生在同一时空点上。

當慣性系中的觀測者，在對該系中的有距離之兩鐘，進行校時，他把同步訊號源放在兩鐘的正中央，同步脈波呈球面對稱，半徑光速擴展, 當鐘被同步波緣觸及時，即歸零 (或重置在相同的計時初值)，此時兩鐘的計時步調，即相對同步計時，有時也簡稱相對同時。

[编辑] 相对论质量

[编辑] 相对论力学

[编辑] 相对论动量与能量

[编辑] 相对论下的电效应——磁场与电场的统一

[编辑] 实验验证

横向多普勒效应实验
高速运动粒子寿命的测定
携带原子钟的环球飞行实验

[编辑] 狭义相对论的几何意义

狭义相对论的一些结论也可以通过几何方式直观地推导出。

[编辑] 虚数坐标系下的三角函数

首先，我们引入虚数坐标系下的三角函数。

如图，建立直角坐标系。对三点A(x₁,ict₁)，B(x₂,ict₁)，C(x₂,ict₂)，令Δx=x₂-x₁，Δt=t₂-t₁，可定义： $\sin \theta=\frac{ic(t_2-t_1)}{\sqrt{(x_2-x_1)^2-(ct_2-ct_1)^2}}=\frac{ic\Delta t}{\sqrt{\Delta x^2-\Delta t^2c^2}}$ $\cos \theta=\frac{x_2-x_1}{\sqrt{(x_2-x_1)^2-(ct_2-ct_1)^2}}=\frac{\Delta x}{\sqrt{\Delta x^2-\Delta t^2c^2}}$

关于这种坐标系和三角函数，有一些与传统概念不同之处：

看上去“长”的长度可能实际上是短的，因此长度不能直观地比较；
正弦函数可以取虚数；
余弦函数绝对值可以大于1。

[编辑] 世界线

由爱因斯坦理论得知，三维空间与一维时间组成四维时空。因此，可以由四维时空坐标系O-xyzt。（因无法画出四维坐标，除特别声明外，各图中不考虑y、z轴，x轴为与速度平行方向。）

一个物体的世界线指它在时空坐标上对应点的轨迹。世界线是物体可以达到的时空坐标的总和。换言之，物体不可能存在于世界线外的任何一点。

比如，一辆车以速度v直线运动，则x=vt，即图中线 $\tan \theta=\frac{v}{ic}$ 。

[编辑] 洛仑兹变换的几何推导

在s系，即x-ict系中，设一个物体以v的速度沿x方向运动，零时刻在原点。则其世界线为O-ict'轴。相对此物本身静止的参考系，即x'-O-ict'系，记作s'系，由4.2节可知： $\tan \theta=\frac{v}{ic}=-i\beta$

则 $cosθ = γsinθ = - i βγ$

则s系中一点P（x,ict）在s'系对应点坐标为（x',ict'），有： $x^\prime=x\cos \theta-ict\sin \theta=x\gamma-ct\beta\gamma=\gamma(x-vt)$
$ict^\prime=ict\cos \theta+x\sin \theta=ict\gamma-i\beta\gamma x$
$t^\prime=r(t-\frac{vx}{c^2})$

即为洛仑兹变换。

[编辑] 尺缩与鐘慢

[编辑] 尺缩

设s系为本征参考系。其间有一段长度 $\bar{AB}=l$ ，则在s系中，按照测量的同时原则，应测量AB两点在s'系中同一时刻坐标差，那么，看到的B必在s系中早于A，记为B'。

则 $l^\prime=\overline{AB^\prime}=\frac{l}{\cos \theta}=\frac{l}{r}=l\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}<l$ ，故尺缩。

或也可解释为，长度AB即为同一时刻A、B两点x坐标之差。A、B在s系世界线均平行ict轴（静止），在s'系用平行x'轴的直线截它们即得 $l^\prime=\overline{AB^\prime}$ 。

[编辑] 鐘慢

设s系为本征参考系。在s系中有一段时间差δt，即A(x₁,ict₁)，B(x₂,ict₂)。在s'系中，时间差即为坐标在ict'分量上的差，即 $\overline{AB^\prime}=\bar{AB}\cos \theta=\overline{AB}r$

所以 $t^\prime=\frac{t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}>t$ ，故鐘慢。

[编辑] 分析

在坐标上看，时间轴与空间轴的情况十分类似，但“尺”是本征系最长，“钟”是本征系最快，初学者往往难以理解。这涉及时间差与长度的测量。

测量时间差时，只需在同一系中记录两点（四维点）的时间坐标再求差即可，与其空间位置完全无关。

而测量长度时，要求在测量系中必须同时测头尾坐标，再求空间坐标之差，这两点在测量时本征参考系的时间坐标可以不同。但由于在本征参考系空间位置不变，故（在4.4.1节图中）要算 $\overline{AB^\prime}$ 而非 $\overline{AB^*}$ （在s系可以看出，B在任何时刻都不在B*）。

事实上，也可以测量不同时的空间坐标差，但这就不是长度了，也不具有明显的几何意义。

[编辑] 速度合成公式

一物体A相对s系以v₁运动，其世界线为OT₁，tanθ=-iβ₁；一物体B相对A以v₂运动，其世界线为OT₂，tanφ=-iβ₂。B相对s系的速度设为v₃。则有 $-i\beta_3=\tan (\theta+\phi)=\frac{\tan \theta+\tan \phi}{1-\tan \theta \tan \phi}$
$=\frac{-i\beta_1-i\beta_2}{1+\beta_1\beta_2}$

得 $v_3=\frac{v_1+v_2}{1+\frac{v_1v_2}{c^2}}$ ，即为速度合成公式。

特别地，当β=1，即v=c时，tanθ=-i，θ=45°，可以算得 $\theta \oplus \phi = \theta , v \oplus c = v$

[编辑] 光波的多普勒效应

在s系中，光波周期为T，则在0时刻和icT时刻发出两束光的世界线如图。

在s'系中易看出T'为两条世界线与ict'轴交点间长度。

直线l₁方程：ict=icT+x；
直线O-ict'方程：ict=x cotθ
得 $x=\frac{icT}{1-\cot \theta}$
$icT^\prime = \frac{x}{\sin \theta} = \frac{icT}{\sin \theta - \cos \theta}$
$=\frac{icT}{-i\beta\gamma-\gamma}$

狭义相对论的局限性

[编辑] 相關條目

[编辑] 文獻

[编辑] 外部链接

维基文库中相关的原始文献：

論動體的電動力學(中譯)

物理学分支

基础理论

研究领域

交叉和应用学科

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