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微积分学

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柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。

[编辑] 内容

如果函数 f(x) 及 g(x) 满足

1. 在闭区间 [a,b] 上连续；
2. 在开区间 (a,b) 内可导，
3. 在对任意 ，

那么在 (a,b) 内至少有一点 ξ(a < ξ < b) 使等式

成立。

[编辑] 证明

首先，如果 g(a) = g(b)，由罗尔定理，存在一点 使得 g'(x₀) = 0，与条件3矛盾。所以 。

令 。那么

1. h 在 [a,b] 上连续，
2. h 在 (a,b) 上可导，
3. 。

由罗尔定理，存在一点 使得 h'(ξ) = 0。即 。命题得证。

[编辑] 参见

• 拉格朗日中值定理
• 微分中值定理
• 罗尔定理