Geometrie algebrică

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Geometria algebrică este o ramură a matematicii, care, aşa cum numele o sugerează, combină algebra abstractă, în special algebra comutativă cu geometria. Geometria algebrică poate fi înţeleasă ca studiul unui grup de soluţii al sistemelor de ecuaţii algebrice. Atunci când există mai mult de o variabilă, considerente de natură geometrică intră "în joc", înţelegerea fenomenului fiind importantă. S-ar putea spune că subiectul abia începe acolo unde rezolvarea ecuaţiilor se termină. De asemenea, se poate argumenta că este la fel de importantă găsirea ansamblului tuturor soluţiilor posibile ale unui sistem de ecuaţii ca şi găsirea unei singure soluţii. Oricum, aceste considerente conduc la interpretări de natură complexă şi filozofică a matematicii, atât conceptual cât şi tehnic.

[modifică] Zero-urile polinoamelor simultane

În geometria algebrică clasică, obiectul esenţial al interesului îl reprezintă grupul tuturor punctelor care satisfac simultan una sau mai multe ecuaţii polinomiale. Spre exemplificare, sfera tridimensională în spaţiul euclidian tridimensional $\mathbb R^3$ poate fi definită ca mulţimea tuturor punctelor $(x, y, z)$ care satisfac ecuaţia:

$x^2+y^2+z^2-1=0.\,$

Astfel, un cerc "înclinat" în $\mathbb R^3$ poate fi definit ca mulţimea tuturor punctelor $(x, y, z)$ care satisfac simultan următoarele două ecuaţii polinomiale:

$x^2+y^2+z^2-1=0,\,$

$x+y+z=0.\,$

[modifică] Varietăţi afine

Spațiul afin peste un câmp $k\,$ este produsul cartezian $k^n\,$ , unde $n\in \mathbb N\,$ denotă dimensiunea spațiului. Punctele lui $k^n\,$ pot fi exprimate in coordonate $(x_1,...,x_n)\,$ .

O varietate afină este o submulțime a lui $k^n\,$ , ale cărei puncte sunt zerourile simultane ale unei colecții de polinoame în $n\,$ variabile. Mai exact, dacă $\{f_{\alpha}(x_1,...,x_n)\}\,$ este o colecție de polinoame, atunci o varietate afina este

$V=\{(x_1,...,x_n)|f_{\alpha}(x_1,...,x_n)=0, \forall \alpha\}$ .

Daca punctele unei varietați $V \,$ sunt zerourile unei colecții de polinoame $\{f_{\alpha}(x_1,...,x_n)\}\,$ , atunci ele sunt zerourile oricărui polinom din idealul general de polinoamele $\{f_{\alpha}(x_1,...,x_n)\}\,$ . Acest ideal se notează cu $I(V) \,$ , și se numește idealul varietății $V \,$ .

Reciproc, pornind de la un ideal de polinoame $I \,$ , varietatea punctelor care satisfac simultan toate polinoamele din $V \,$ se notează cu $V(I)\,$ . Relația dintre idealuri și varietăți este completată de teorema zerourilor lui Hilbert (Nullstellensatz), care afirmă că pentru un ideal de polinoame $J \,$ ,

$I(V(J))=\sqrt{J}$ ,

unde $\sqrt{J} \,$ denotă radicalul lui $J \,$ . De asemenea, pentru orice varietate $W \,$ are loc relația

$V(I(W))=W.\,$

Varietățile afine sunt precis mulțimile închise din topologia Zariski.

[modifică] Funcţii regulate

O funcție regulată pe o varietate algebrică $V\subset k^n\,$ este restricția la $V \,$ a unei funcții polinomiale pe $k^n \,$ (adică a unui polinom in $n \,$ variabile cu coeficienți în $k\,$ ). Prin definiție, polinoamele din idealul $I(V) \,$ se anulează pe întregul $V\,$ . De aceea, este mai firesc ca funcțiile regulate pe $V \,$ să fie privite modulo $I(V)\,$ .

Astfel, funcțiile regulate pe $V \,$ formează un inel, a cărui definiție formală este

$k[V]:=k[x_1,...,x_n]/I(V).\,$

De exemplu, dacă $V=k^n\,$ , atunci $I(V)=(0)\,$ și astfel $k[V]=k[x_1,...,x_n] \,$ .

Dacă $V\,$ este un singur punct $(a_1,...,a_n) \,$ , atunci $I(V)=(x_1-a_1,...,x_n-a_n)\,$ și atunci $k[V]\cong k$ .

[modifică] Categoria varietăţilor afine

[modifică] Spaţiul proiectiv

[modifică] Punctul de vedere modern

[modifică] Note şi istoric

[modifică] Vezi şi

[modifică] Referinţe

A classical textbook, predating schemes:

W. V. D. Hodge; Daniel Pedoe (1994). Methods of Algebraic Geometry: Volume 1. Cambridge University Press. ISBN 0521469007.
Hodge, W. V. D.; Pedoe, Daniel (1994). Methods of Algebraic Geometry: Volume 2. Cambridge University Press. ISBN 0521469015.
Hodge, W. V. D.; Pedoe, Daniel (1994). Methods of Algebraic Geometry: Volume 3. Cambridge University Press. ISBN 0521467756.

Modern textbooks that do not use the language of schemes:

David Cox; John Little, Don O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms, second edition, Springer-Verlag. ISBN 0387946802.
Phillip Griffiths; Joe Harris (1994). Principles of Algebraic Geometry. Wiley-Interscience. ISBN 0471050598.
Joe Harris (1995). Algebraic Geometry: A First Course. Springer-Verlag. ISBN 0387977163.
David Mumford (1995). Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties, 2nd ed., Springer-Verlag. ISBN 3540586571.
Miles Reid (1988). Undergraduate Algebraic Geometry. Cambridge University Press. ISBN 0521356628.
Igor Shafarevich (1995). Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space, 2nd ed., Springer-Verlag. ISBN 0387548122.

Textbooks and references for schemes:

David Eisenbud; Joe Harris (1998). The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. ISBN 0387986375.
Alexander Grothendieck (1960). Éléments de géométrie algébrique. Publications mathématiques de l'IHÉS.
Alexander Grothendieck (1971). Éléments de géométrie algébrique, 2nd ed., Springer-Verlag. ISBN 3540051139.
Robin Hartshorne (1997). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0387902449.
David Mumford (1999). The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians, 2nd ed., Springer-Verlag. ISBN 354063293X.
Igor Shafarevich (1995). Basic Algebraic Geometry II: Schemes and Complex Manifolds. Springer-Verlag. ISBN 0387548122.

[modifică] Legături externe

Kevin R. Coombes: Algebraic Geometry: A Total Hypertext Online System
Algebraic geometry entry on PlanetMath
Algebraic Equations and Systems of Algebraic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations

Adus de la http://ro.wikipedia.org/wiki/Geometrie_algebric%C4%83

Categorie: Geometrie algebrică