Zbieżność prawie wszędzie

Brak wersji przejrzanej

Zbieżność prawie wszędzie ciągu funkcji względem (pewnej) miary to rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Pojęcie to pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W teorii prawdopodobieństwa i statystyce znane jest ono pod nazwą zbieżność z prawdopodobieństwem 1 lub prawie na pewno.

[edytuj] Definicja

Teoria miary

Niech $(X,\mathfrak{M},\mu)$ będzie przestrzenią mierzalną z miarą (tak więc w szczególności $\mu\colon\mathfrak{M}\longrightarrow [0,\infty]$ ) oraz niech $(Y, d)$ będzie przestrzenią metryczną. Przypuśćmy, że $A\in\mathfrak{M}$ oraz $f_n, f\colon A\longrightarrow Y$ .

Mówimy, że ciąg $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji $f$ (względem miary $μ$ na zbiorze $A$ ), wtedy i tylko wtedy, gdy można znaleźć zbiór mierzalny podzbiór $B$ zbioru $A$ , który jest miary zero, tzn. $μ(B) = 0$ oraz

$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$ dla wszystkich $x\in A\setminus B$ .

Formułując tę definicję inaczej, powiemy że ciąg funkcji $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji f, jeśli jest on zbieżny punktowo do funkcji f poza zbiorem miary $μ$ zero.

Statystyka

W statystyce, rozważamy zbieżność z prawdopodobieństwem 1 dla ciągów ciąg zmiennych losowych $X n$ . Mówimy, że ciąg zmiennych losowych $\{X_n\}_{n\in {\mathbb N}}$ dąży z prawdopodobieństwem $1$ do zmiennej losowej $X$ , przy $n$ dążącym do nieskończoności, jeśli $P\{\omega:X_{n}(\omega)\to X(\omega)\}= 1\,$ . Jest to więc to samo pojęcie co zdefiniowane w języku miary powyżej.

[edytuj] Własności

Każdy ciąg zbieżny prawie jednostajnie jest zbieżny prawie wszędzie
Jeśli miara $μ$ jest σ-skończona oraz ciąg $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest $μ$ -prawie wszędzie zbieżny do funkcji $f$ , to ciąg ten jest zbieżny według miary (do tej samej funkcji).
W szczególności, jeśli ciąg zmiennych losowych określonych na danej przestrzeni probabilistycznej jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 to jest on zbieżny według prawdopodobieństwa.

[edytuj] Zobacz też

Źródło: „http://pl.wikipedia.org/wiki/Zbie%C5%BCno%C5%9B%C4%87_prawie_wsz%C4%99dzie”