Zbieżność prawie jednostajna

Brak wersji przejrzanej

Zbieżność prawie jednostajna ciągu funkcji względem (pewnej) miary to rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Pojęcie pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku.

Spis treści

1 Definicja
2 Twierdzenia o zbieżności prawie jednostajnej (według miary)
3 Źródła
4 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Niech $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ będzie ciągiem funkcji prawie wszędzie skończonych. $f_n, f\colon A\longrightarrow \overline{\mathbb{R}}, \mu\colon\mathfrak{M}\longrightarrow [0,\infty]$ - miara. $A\in\mathfrak{M}$ .
Mówimy, że ciąg $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest zbieżny do funkcji $f\;$ prawie jednostajnie, względem miary $\mu\;$ (na zbiorze $A\;$ ), wtedy i tylko wtedy, gdy:

$\bigwedge_{\varepsilon>0}\bigvee_{\mathfrak{M}\ni B\subset A}$ $\left[\right.\mu(A\setminus B)<\varepsilon\wedge(f_n|_B)_{n\in\mathbb{N}}$ jest zbieżny jednostajnie do funkcji $f|_B \left]\right.$

[edytuj] Twierdzenia o zbieżności prawie jednostajnej (według miary)

Każdy ciąg zbieżny prawie jednostajnie jest zbieżny prawie wszędzie i według miary (do tej samej funkcji).
Twierdzenie Riesza
Twierdzenie Jegorowa

[edytuj] Źródła

Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 123.

[edytuj] Zobacz też

Źródło: „http://pl.wikipedia.org/wiki/Zbie%C5%BCno%C5%9B%C4%87_prawie_jednostajna”

Kategorie: Ciągi funkcyjne • Granice • Teoria miary