Zbiór Vitalego
Zbiór Vitalego – szczególny podzbiór zbioru liczb rzeczywistych, który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue'a. Jego definicja została podana przez Giuseppe Vitalego, a dowód istnienia takich obiektów wykorzystuje aksjomat wyboru.
[edytuj] Definicja zbioru
W zbiorze liczb rzeczywistych z odcinka [0,1) określamy relację równoważności następująco:
- x ~ y wtedy i tylko wtedy, gdy x – y jest liczbą wymierną
Klasy abstrakcji tej relacji są rozłącznymi podzbiorami [0,1). Na mocy aksjomatu wyboru istnieje zbiór V, który ma dokładnie jeden element wspólny z każdą klasą abstrakcji. Każdy taki zbiór V nazwiemy zbiorem Vitalego.
Należy zauważyć, że jeśli V jest zbiorem Vitalego, to:
- różnica dowolnych dwóch różnych elementów tego zbioru jest liczbą niewymierną, więc
- dwa różne przesunięcia (modulo 1) tego zbioru o liczby wymierne są rozłączne, oraz
- (przeliczalna) suma wszystkich przesunięć (modulo 1) zbioru V o liczby wymierne z [0,1) pokrywa odcinek [0,1).
Stad już łatwo wnioskujemy, że zbiór Vitalego jest niemierzalny w sensie Lebesgue'a.
Argument przedstawiony powyżej wykazuje, że jeśli przyjmiemy aksjomat wyboru, to na prostej istnieją zbiory niemierzalne w sensie Lebesgue'a, niemniej jednak zbiory takie w żadnym sensie nie są konstruowalne. Czasami używa się jednak zwrotu "konstrukcja zbioru Vitalego" w znaczeniu "definicja takich zbiorów".