Zbiór

Ten artykuł dotyczy pojęcie w matematyce. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Artykuł wymaga poszerzenia.
Zajrzyj na stronę dyskusji, by dowiedzieć się, czego brakuje i uzupełnij braki, jeśli to możliwe.

Zbiór – pojęcie pierwotne w matematyce, a dokładniej w teorii mnogości. Oznacza mnogość, wielość, nieuporządkowany wykaz, kolekcję pewnych różnych elementów rozpatrywanych jako całość. Pojęcie zbioru jest jednym z najbardziej fundamentalnych pojęć matematyki.

Zdanie $a\;$ jest elementem zbioru $A\;$ ( $a\;$ należy do $A\;$ ) zapisuje się $a \in A\;$ .

Zamiennie ze słowem zbiór używa się terminu mnogość (stąd właśnie polski termin teoria mnogości oznaczający po prostu teorię zbiorów). Zbiór, którego wszystkie elementy są zbiorami, nazywa się rodziną zbiorów.

Zbiór, do którego nie należy żaden element, nazywa się zbiorem pustym (oznaczenie $\emptyset$ ).

Podanie wszystkich elementów zbioru określa ten zbiór jednoznacznie. Zbiór zawierający elementy $a_1,a_2,\dots,a_n$ oznacza się przez $\{a_1,a_2,\dots,a_n\}$ . W przypadku $n=2\;$ , zbiór $\{x_1,x_2\}\;$ nazywa się parą nieuporządkowaną (porównaj też: para uporządkowana).

Innym sposobem określenia zbioru jest podanie własności charakteryzującej jego elementy. Podzbiór zbioru $A\;$ utworzony z takich i tylko takich elementów $x\;$ , które mają własność $F(x)\;$ oznacza się przez $\{x \in A: F(x)\}$ .

Zwyczajowo wielkimi literami oznaczamy zbiory, małymi literami oznaczamy elementy zbioru.

W przeciwieństwie do relacji zawierania się części w całości relacja przynależności elementu do zbioru nie jest przechodnia; na przykład koła stanowią wprawdzie część każdego samochodu, ale nie są elementami zbioru samochodów jako takich.

Zbiór zawierający skończenie wiele elementów nazywa się zbiorem skończonym; zbiór nie będący skończonym nazywa się zbiorem nieskończonym.

[edytuj] Działania na zbiorach

Działania, które możemy wykonać na zbiorach:

suma zbiorów $A\;$ i $B\;$ – zbiór elementów należących do zbioru $A\;$ lub do zbioru $B\;$
przekrój (iloczyn, część wspólna) zbiorów – zbiór tych elementów, które należą do zbioru $A\;$ i do zbioru $B\;$
różnica zbiorów $A\;$ i $B\;$ – zbiór elementów, które należą do zbioru $A\;$ , lecz nie należą do zbioru $B\;$
różnica symetryczna zbiorów $A\;$ i $B\;$ – zbiór elementów, które należą do zbioru $A\;$ albo do zbioru $B\;$ (lecz nie należą do obydwu naraz)
iloczyn kartezjański zbiorów $A\;$ i $B\;$ – zbiór wszystkich takich par, których pierwszy element należy do zbioru $A\;$ , zaś drugi do $B\;$
suma rozłączna
zbiór potęgowy zbioru $X\;$ – zbiór wszystkich podzbiorów zbioru $X\;$
dopełnienie zbioru – zbiór tych elementów przestrzeni (definicja przestrzeni wynika każdorazowo z kontekstu, np. jeśli zbiorem jest figura płaska, przestrzenią będzie na ogół płaszczyzna), które nie należą do zbioru $X\;$

[edytuj] Uogólnienia

W matematyce rozpatruje się uogólnienia pojęcia zbioru; można zaliczyć do nich:

klasy,
multizbiory, które mogą zawierać jeden element wiele razy;
zbiory rozmyte (ang. fuzzy sets), do których elementy mogą należeć "tylko w części" (klasyczny zbiór jest jednoznaczny: albo dany element do niego należy, albo nie). Pojęcie to okazało się bardzo użyteczne w automatyce. Z punktu widzenia matematyki zbiór rozmyty nie jest jednak zbiorem, lecz funkcją, która elementom jakiegoś klasycznego zbioru przyporządkowuje liczby rzeczywiste z przedziału $[0,1]\;$ .
zbiory przybliżone (ang. rough sets), implementujące trójstanową logikę w zakresie zbiorów. Zbiór przybliżony można rozumieć jako parę zwykłych zbiorów, której elementy oznaczają dolne i górne oszacowanie. Dany element albo jest w obydwu zbiorach, albo w żadnym, albo tylko w górnym. Ten ostatni przypadek można zastosować do modelowania niepewności.

[edytuj] Zobacz też

Zobacz podręcznik na Wikibooks: Matematyka dla liceum - Pojęcie zbioru

zbiory w topologii:

Źródło: „http://pl.wikipedia.org/wiki/Zbi%C3%B3r”

Kategoria: Teoria mnogości

Ukryte kategorie: Strony do poszerzenia • Zalążki artykułów