Wzory skróconego mnożenia

Brak wersji przejrzanej

Wzory skróconego mnożenia to potoczna nazwa rozwinięć wzorów na potęgowanie sumy kilku wyrażeń. Najczęściej nazwy tej używa się w odniesieniu do poniższych wzorów:

$(a+b)^{2} = a ^{2} + 2ab + b^{2}\,$
$(a-b)^{2} = a ^{2} - 2ab + b^{2}\,$
$(a+b)(a-b) = a ^{2} - b^{2}\,$

Inne wzory skróconego mnożenia:

$(a+b)^{3} = a ^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}\,$
$(a-b)^{3} = a ^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}\,$
$(a+b+c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2bc + 2ca\,$
$(a-b-c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2ab + 2bc - 2ca\,$
$(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}) = a^{3}+b^{3} \,$
$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}) = a^{3}-b^{3} \,$
$a^{4}-b^{4}=(a-b)(a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3}) \,$
$a^{5}-b^{5}=(a-b)(a^{4}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+ab^{3}+b^{4}) \,$
$a^{5}+b^{5}=(a+b)(a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4}) \,$

Wzory ogólne:

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}a^{n-k}b^k\,$ - Dwumian Newtona
$(a-b)^n=\sum_{k=0}^n(-1)^k{n \choose k}a^{n-k}b^k\,$
$a^{n} - b^{n} = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^{2} + \ldots + ab^{n-2} + b^{n-1})\,$
$a^2 + b^2=(a+bi)(a-bi)\,$ , nie rozkłada się na czynniki rzeczywiste
$a^{4n} + b^{4n} = (a^{2n} + b^{2n} + \sqrt{2} a^{n} b^{n})(a^{2n} + b^{2n} - \sqrt{2} a^{n} b^{n})$
$a^{2n+1} + b^{2n+1} = (a + b) (a^{2n} - a^{2n-1}b + a^{2n-2}b^{2} - \ldots - ab^{2n-1} + b^{2n})\,$

Źródło: „http://pl.wikipedia.org/wiki/Wzory_skr%C3%B3conego_mno%C5%BCenia”

Kategorie: Równania • Arytmetyka