Wymiar Hausdorffa

Brak wersji przejrzanej

Wymiar Hausdorffa – cecha numeryczna zbioru w przestrzeni metrycznej; nazwa tego wymiaru honoruje Feliksa Hausdorffa, który ten wymiar zdefiniował.

Spis treści

1 Definicja
2 Wymiar Hausdorffa a wymiar topologiczny
3 Praktyczna metoda liczenia
4 Przypisy
5 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Niech s > 0. Niech $\;(X, d)$ będzie przestrzenią metryczną. Dla dowolnego podzbioru $E \subseteq X$ określamy miarę zewnętrzną

$H^s_\delta(E) = \inf\left\{\sum_{i=1}^\infty \operatorname{diam}(A_i)^s\right\}$ ,

gdzie infimum bierzemy po rodzinach zbiorów $\,\{A_i\}_i$ , które pokrywają $E\,$ i zawierają zbiory o średnicy mniejszej lub równej $\,\delta$ .

Gdy $\delta\,$ maleje, to $H^s_\delta(E)$ rośnie. Zatem poniższa granica (skończona lub nie) istnieje i jest nazywana miarą Hausdorffa (dla wykładnika s):

$H^s(E) = \lim_{\delta \to 0}~H^s_\delta(E)$ .

Łatwo sprawdzić, że:

$H^s(E) = 0 \implies H^t(E) = 0$ dla każdego $\,t>s$ ;
$H^s(E) = \infty \implies H^t(E) = \infty$ dla każdego $\,t<s$ .

Wymiar Hausdorffa określa się wówczas jako

$\operatorname{dim}_H(E) = \inf \{s\colon H^s(E) = 0\} = \sup \{s\colon H^s(E) = \infty\}$ .

[edytuj] Wymiar Hausdorffa a wymiar topologiczny

Wymiar Hausdorffa metrycznej przestrzeni ośrodkowej jest zawsze niemniejszy od jej wymiaru topologicznego. Edward Marczewski (1937) ^[1] udowodnił, że każda ośrodkowa przestrzeń metryczna dopuszcza metrykę indukującą jej topologię, i taką, że wymiar Hausdorffa przy tej metryce jest równy wymiarowi topologicznemu.

Podobne twierdzenie, ale tylko dla przestrzeni metrycznych, zwartych, dowiedli wspólnie Lew Pontriagin i Lew Sznirelman (1932) ^[2], w terminach nie miary Hausdorffa, lecz logarytmu minimalnych liczności ε-pokryć, podzielonego przez log(ε).

Wynik Marczewskiego (oraz Eilenberga) przedstawiony jest w klasycznej monografii Witold Hurewicza i Henry Wallmana ^[3]; patrz też rosyjskie tłumaczenie ^[4], gdzie znajduje się dodatek ze wspomnianą pracą Pontriagina-Sznirelmana.

[edytuj] Praktyczna metoda liczenia

W większości zbiorów fraktalnych w przestrzeni metrycznej np. takich jak Kostka Mengera policzenie wymiaru Haussdorfa sprowadza sie do zbadania zbieżności szeregu geometrycznego z zsumowanych miar jego zmniejszanych elementów z potęgą wymiaru z każdej rekurencji tzn. kiedy suma ta staje się nieskończona. Suma ta jest szczególnym wyborem z rodziny zbiorów z definicji $H^s_\delta(E)$ . Wymiar Haussdorfa jest równy nawiększej wartości potęgi dla której powstały ciąg geometryczny oraz szereg stają się rozbieżne.

Przykład: dywan Sierpińskiego:

W każdej rekurencji usuwa się $8 n$ kwadratów o boku $1 / 3 n$ . Suma szeregu jest wtedy dana przez

$\frac{}{}Z(\gamma)= \left(\frac{1}{3}\right)^{\gamma}+8 \left(\frac{1}{3^2}\right)^{\gamma}+ 8^2 \left(\frac{1}{3^3}\right)^{\gamma}+8^3 \left(\frac{1}{3^4}\right)^{\gamma}+...$

co jest sumą wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie

$q=\frac{8}{3^{\gamma}}$

Ciąg ten i suma stają się rozbieżne gdy $q = 1$ tzn. wymiar Haussdorfa dywanu Sierpińskiego wynosi

$\gamma=\frac{\log(8)}{\log(3)}\approx 1,8928$

Dla kostki Mengera będzie to więc $log(20) / log(3)$ , dla piramidy Sierpińskiego $log(4) / log(2)$ , a dla zbioru Cantora $log(2) / log(3)$ .

Przypisy

↑ Szpilrajn, La dimension et la mesure, Fund. math., 28 (1937), 81-89
↑ Об одном метрическом свойстве размерности, Annals of Mathematics 33 (1932), 156-162
↑ Witold Hurewicz and Henry Wallman, Dimension Theory, 1941
↑ Witold Hurewicz i Henry Wallman, Теория Размерности, И*Л, 1948, Μοсква

[edytuj] Zobacz też

Źródło: „http://pl.wikipedia.org/wiki/Wymiar_Hausdorffa”

Kategorie: Teoria wymiaru • Teoria miary

Ukryta kategoria: Zalążki artykułów