Wskaźnik uwarunkowania

Brak wersji przejrzanej

Wskaźnik uwarunkowania określa w jakim stopniu błąd reprezentacji numerycznej danych wejściowych danego problemu wpływa na błąd wyniku. Wskaźnik uwarunkowania definiuje się jako maksymalny stosunek błędu względnego rozwiązania do błędu względnego danych. Problem o niskim wskaźniku uwarunkowania nazywamy dobrze uwarunkowanym zaś problemy o wysokim wskaźniku uwarunkowania – źle uwarunkowanymi. Zagadnienia o zbyt dużym wskaźniku uwarunkowania nie nadają się do numerycznego rozwiązywania ponieważ, już sam błąd wynikający z numerycznej reprezentacji liczb wprowadza nieproporcjonalnie duży błąd.

Wskaźnik uwarunkowania jest cechą problemu i jest niezależny od numerycznych właściwości konkretnych algorytmów. W odróżnieniu od błędu zaokrągleń wprowadzonego przez algorytm, wskaźnik uwarunkowania stanowi informację o błędzie przeniesionym z danych.

Spis treści

1 Wskaźnik uwarunkowania macierzy
- 1.1 Zastosowania
2 Zobacz też
3 Linki zewnętrze

[edytuj] Wskaźnik uwarunkowania macierzy

Zasugerowano, aby ta sekcja została przeniesiona do nowego artykułu nazwanego Wskaźnik uwarunkowania macierzy.

Wskaźnik uwarunkowania macierzy $A$ w równaniu $A x = b$ jest charakterystyczną własnością macierzy informującą o tym jakie wzmocnienie będzie miała zmiana normy macierzy A na normę rozwiązania x.

Wskaźnik uwarunkowania macierzy definiuje się bardziej precyzyjnie jako maksymalny stosunek błędu względnego wektora rozwiązania $x$ do błędu względego $b$

Załóżmy, że $e$ jest błędem $b$ . Stąd błąd w rozwiązaniu $A - 1 b$ wynosi $A - 1 e$ . Stąd stosunek relatywnego błędu rozwiązania do relatywnego błędu w $b$ wynosi:

$\frac{\Vert A^{-1} e\Vert / \Vert A^{-1} b\Vert}{\Vert e\Vert / \Vert b\Vert}.$

Można to przekształcić do:

$(\Vert A^{-1} e\Vert / \Vert e\Vert) \cdot (\Vert b\Vert / \Vert A^{-1} b\Vert).$

Maksymalna wartość (dla niezerowych $b$ i $e$ ) będzie iloczynem dwóch norm (definiowanych w różny sposób, np. często jako normę traktuje się maksymalną sumę warości bezwzględnych wierszy):

$\kappa (A) = \Vert A^{-1}\Vert \cdot \Vert A\Vert.$

Definicja ta jest taka sama dla każdej zwartej normy. Liczba ta, pojawia się tak często w algebrze liniowej, że nadano jej nazwę wskaźnika uwarunkowania macierzy

[edytuj] Zastosowania

Wskaźnik uwarunkowania macierzy, pozwala nam na oszacowanie z jaką (maksymalnie) dokładnością (do ilu miejsc po przecinku) możemy podać wynik.

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

$\mathbf{A^{-1}} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix} .$

Stosując tak zdefiniowaną normę: $\|A\|= max_{1<i<n} \sum_{j=1}^n |a_{ij}|$ możemy obliczyć wskaźnik uwarunkowania $\kappa (A) = \Vert A^{-1}\Vert \cdot \Vert A\Vert =21$

[edytuj] Zobacz też

Efekt motyla (fizyka)

[edytuj] Linki zewnętrze

Zagadnienie uwarunkowania macierzy na Holistic Numerical Methods Institute

Źródło: „http://pl.wikipedia.org/wiki/Wska%C5%BAnik_uwarunkowania”

Kategoria: Metody numeryczne

Ukryte kategorie: Artykuły do podzielenia • Zalążki artykułów