Twierdzenie Kuratowskiego-Steinhausa (teoria miary)

Brak wersji przejrzanej

Twierdzenie Kuratowskiego-Steinhausa - twierdzenie teorii miary mówiące o pewnej własności miary Lebesgue'a, związanej z niezmienniczością tej miary ze względu na przesunięcia.

[edytuj] Twierdzenie

Mając dany podział przestrzeni $\mathbb{R}^n$ na sektory $S_1,\ldots, S_{n+1}$ oraz ograniczony podzbiór $A\subseteq \mathbb{R}^n$ mierzalny, o mierze dodatniej, można tak go przesunąć, by jego przekroje z sektorami miały miary w danej z góry proporcji. Innymi słowy dla dowolnych liczb nieujemnych $\alpha_1,\ldots, \alpha_{n+1}$ takich, że

$\alpha_1+\ldots+\ldots\alpha_{n+1}=1$

istnieje taki wektor $x\in\mathbb{R}^n$ , że

$\alpha_j=\frac{l_n((A+x)\cap S_j)}{l_n(A)}$

dla $j\leq n+1$ , gdzie $l n$ oznacza $n$ -wymiarową miarę Lebesgue'a.

[edytuj] Komentarze

Dowód podany przez Kuratowskiego i Steinhausa oparty jest na twierdzeniu Brouwera o punkcie stałym. Karol Borsuk podał inny dowód tego twierdzenia w oparciu o twierdzenie Borsuka-Ulama.

[edytuj] Źródła

Kazimierz Kuratowski, Hugo Steinhaus: Une application géometriqe du théorème de Brouwer sur les points invariants.. Warszawa: Bull. de l'Academie Pol. Sci., Cl. III, 1, 1953, ss. 83-86.
Jerzy Mioduszewski: Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych. Katowice: Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, 1994, s. 81.

Źródło: „http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Kuratowskiego-Steinhausa_(teoria_miary)”

Kategoria: Teoria miary