Twierdzenie Jegorowa

Brak wersji przejrzanej

Twierdzenie Jegorowa. Jedno z ważniejszych twierdzeń teorii miary i teorii ciągów funkcji mierzalnych. Nazwane imieniem rosyjskiego matematyka, Dimitri Jegorowa.

[edytuj] Twierdzenie

Jeśli $f_n, f\colon A\longrightarrow \overline{\mathbb{R}}, \mu(A)<\infty$ oraz $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$ prawie wszędzie, to ciąg $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest zbieżny do funkcji $f\;$ prawie jednostajnie.

[edytuj] Dowód

Określmy zbiory:
$N:=\{x\in A\colon f(x)\notin\mathbb{R}\}\cup\bigcup_{n=1}^{\infty}\{x\in A\colon f_n(x)\notin\mathbb{R}\}\cup\{x\in A\colon \sim\big(\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)\big)\}$
$B:=A\setminus N$
$B_{k,l}:=\bigcap_{n=l}^{\infty}\{x\in B\colon |f_n(x)-f(x)|<\frac{1}{k}\},\quad k,l\in\mathbb{N}$
Istotnie, wystarczy wykazać, że ciąg ten nie jest zbieżny według miary.

Hipoteza: Ciąg, zdefiniowany jak wyżej, jest zbieżny według miary do pewnej funkcji $f\colon \mathbb{N}\longrightarrow \overline{\mathbb{R}}$ . Jedynym zbiorem o mierze mniejszej od 1 jest zbiór pusty.
Wniosek: Ciąg ten zmierza do tej funkcji jednostajnie. Skąd: