Odwrotna dystrybuanta

Brak wersji przejrzanej

Odwrotna dystrybuanta - uogólniona funkcja odwrotna do dystrybuanty danego rozkładu prawdopodobieństwa. Zwykle oznaczana $Φ - 1 (p)$

Jeżeli dystrybuanta $Φ(x)$ jest funkcją ściśle rosnącą, wówczas funkcję odwrotną można zdefiniować jako

$\Phi^{-1}(p) = \{ x \in \R : p = \Phi(x) \}$ , gdzie $p \in (0,1)$ .

W przypadku, gdy dystrybuanta nie jest ściśle rosnąca, powyższa definicja nie jest jednoznaczna. Problemu tego unika się definiując dystrybuantę odwrotną jako:

$\Phi^{-1}(p) = \inf \{ x \in \R : p \le \Phi(x) \}$ , gdzie $p \in (0,1)$ .

Tak zdefiniowana dystrybuanta odwrotna ma następujące własności:

$Φ - 1 (p)$ jest rosnąca dla $p \in (0,1)$ ,
$Φ - 1 (p)$ jest lewostronnie ciągła dla $p \in (0,1)$ ,
$\Phi^{-1}(\Phi(x)) \le x$ dla $x \in \R$ takiego, że $\Phi(x) \in (0,1)$ ,
$p \le \Phi(\Phi^{-1}(p))$ dla $p \in (0,1)$ .

[edytuj] Odwrotna dystrybuanta rozkładu normalnego

Szczególne znaczenie ma odwrotna dystrybuanta rozkładu normalnego. Może być ona zapisana za pomocą funkcji specjalnej, zwanej funkcją błędu $\operatorname{erf}$ :

$\Phi_{\mu,\sigma^2}^{-1}(p) = \mu + \sigma\Phi^{-1}(p) = \mu + \sigma\sqrt2 \; \operatorname{erf}^{-1}(2p - 1), \quad p\in(0,1).$

gdzie:

$μ$ to wartość oczekiwana rozkładu
$σ 2$ to wariancja rozkładu

Źródło: „http://pl.wikipedia.org/wiki/Odwrotna_dystrybuanta”

Kategoria: Rachunek prawdopodobieństwa