Objętość (matematyka)

Brak wersji przejrzanej

Spis treści

1 Konstrukcja pojęcia
2 Objętość pod powierzchnią
3 Jednostki objętości
4 Zobacz też

[edytuj] Konstrukcja pojęcia

W matematyce objętość najprościej zdefiniować w następujący sposób:

Pokrywamy całą przestrzeń siatką przylegających sześcianów o bokach $a 1$ .
Liczbę sześcianów, które mają choćby jeden punkt wspólny z bryłą lub obszarem przestrzeni, którego objętość chcemy obliczyć oznaczmy przez $n 1$ .

Tworząc rozmaite siatki sześcianów o coraz to mniejszych krawędziach $a 2 < a 1$ , $a 3 < a 2$ , itd. uzyskamy ciąg liczb $n 1, n 2,...$ . Objętością nazywamy granicę:

$V=\lim_{i \to \infty}n_i~a_i^3$ .

Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, objętości nie da się obliczyć tą metodą.

Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę – choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie posiada podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować objętość: objętość dwóch nie nachodzących na siebie brył może być większa niż objętość bryły powstałej z ich połączenia.

Przykład: zbiory

$\{(x,y,z) \in \mathbb Q^3: 0, x, y, z<1\}$

oraz

$\{(x,y,z): 0<x, y, z<1 \and x \in I\mathbb Q \or y \in I\mathbb Q \or z \in I\mathbb Q\}$

mają obydwa objętości równe jeden, są rozłączne (mają pusty przekrój), a ich suma (czyli wnętrze sześcianu) również ma objętość równą jeden.

Udowodniono jednak, iż nie istnieje żadna nietrywialna funkcja, którą dałoby się zmierzyć dowolną bryłę i która dla dwóch rozłącznych brył dawałaby wynik równy ich sumie.

Zobacz więcej w osobnym artykule: Miara Lebesgue'a.

[edytuj] Objętość pod powierzchnią

Objętość między powierzchnią daną równaniem $z = f (x, y)$ , a płaszczyzną $O X Y$ w obszarze $x 1 < x < x 2, y 1 < y < y 2$ jest równe całce podwójnej

$V=\int\limits_{x_1}^{x_2}\int\limits_{y_1}^{y_2}|f(x,y)|dy~dx$ .

[edytuj] Jednostki objętości

Za jednostkę objętości przyjmuje się sześcian o długości krawędzi odpowiadających jednostce długości w danym systemie miar. W układzie SI jednostką objętości jest sześcian o boku 1 metra, czyli metr sześcienny.

[edytuj] Zobacz też

Źródło: „http://pl.wikipedia.org/wiki/Obj%C4%99to%C5%9B%C4%87_(matematyka)”

Kategorie: Geometria • Teoria miary