Obiekt (teoria kategorii)

Brak wersji przejrzanej

Obiekt – w teorii kategorii nazwa elementu klasy na której określona jest kategoria.

[edytuj] Definicja

Kategoria ${\mathfrak A}$ to trójka $({\mathfrak A}^0,{\rm Mor}^{\mathfrak U}, v^{\mathfrak A})$ w której^[1]:

${\mathfrak A}^0$ jest klasą której elementy nazywamy obiektami,
${\rm Mor}^{\mathfrak U}$ to funkcja która każdej parze obiektów $(A, B)$ przyporządkowuje zbiór ${\rm Mor}^{\mathfrak A}(A,B)$ ; elementy tego zbioru nazywamy morfizmami z $A$ do $B$ ,
$v^{\mathfrak A}$ to funkcja która każdej trójce obiektów $(A, B, C)$ przyporządkowuje przekształcenie

$v^{\mathfrak A}_{A,B,C}:{\rm Mor}^{\mathfrak A}(A,B)\times {\rm Mor}^{\mathfrak A}(B,C)\longrightarrow {\rm Mor}^{\mathfrak A}(A,C)$ ;

jeśli $\alpha\in {\rm Mor}^{\mathfrak A}(A,B)$ oraz $\beta\in {\rm Mor}^{\mathfrak A}(B,C)$ , to $v^{\mathfrak A}_{A,B,C}(\alpha,\beta)$ nazywane jest złożeniem morfizmów

α

β

i jest też oznaczane przez

βα

Wymaga się też, że dla wszystkich obiektów $A,B,C,D\in {\mathfrak A}$ mamy:

jeśli $(A',B')\neq (A,B)$ , to ${\rm Mor}^{\mathfrak A}(A,B)\cap {\rm Mor}^{\mathfrak A}(A',B')=\emptyset$ ,
jeśli $\alpha\in {\rm Mor}^{\mathfrak A}(A,B),\ \beta\in {\rm Mor}^{\mathfrak A}(B,C)$ oraz $\gamma\in {\rm Mor}^{\mathfrak A}(C,D)$ , to

γ(βα) = (γβ)α

istnieje morfizm $i_A\in {\rm Mor}^{\mathfrak A}(A,A)$ taki, że każdego obiektu $B\in {\mathfrak A}^0$ mamy

$(\forall \alpha\in {\rm Mor}^{\mathfrak A}(A,B))(i_B\alpha=\alpha)$ oraz $(\forall \beta\in {\rm Mor}^{\mathfrak A}(B,A))(\beta i_B=\beta)$ .

[edytuj] Przykłady

W kategorii Set wszystkich zbiorów obiektami są zbiory a morfizmami są funkcje pomiędzy nimi.
W kategorii Gr wszystkich grup obiektami są grupy a morfizmami są homomorfizmy między grupami.
W kategorii Ab obiektami są grupy abelowe a morfizmami są homomorfizmy.
W kategorii Vect_K obiektami są przestrzenie wektorowe nad ciałem K a morfizmami są odwzorowania K-liniowymi.
W kategorii Metr obiektami są przestrzenie metryczne a morfizmami są odwzorowania nierozszerzające.
W kategorii Top obiektami są przestrzenie topologiczne a morfizmami są przekształcenia ciągłe pomiędzy tymi przestrzeniami.

Przypisy

↑ Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, ss. 16nn, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.

Źródło: „http://pl.wikipedia.org/wiki/Obiekt_(teoria_kategorii)”

Kategoria: Teoria kategorii

Ukryta kategoria: Zalążki artykułów