Miara Dieudonné
Miara Dieudonné - przykład miary regularnej, określonej na σ-ciele zbiorów borelowskich przestrzeni L(ω1) wszystkich przeliczalnych liczb porządkowych z topologią porządkową. Nazwa tej miary została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Jeana Dieudonné.
[edytuj] Konstrukcja
Na zbiorze (liczbie porządkowej) ω1 można rozważać topologię porządkową, oznaczaną dalej L(ω1). Można wykazać, że σ-ciało 
borelowskich podzbiorów przestrzeni L(ω1) daje się opisać w następujący sposób:
,
gdzie 
oznacza zbiór wszystkich clubów na liczbie kardynalnej ω1, tj. rodzinę jej domkniętych i nieograniczonych podzbiorów.
Funkcja ![\mu\colon \mathcal{B}(L(\omega_1)) \to [0,\infty]](http://upload.wikimedia.org/math/e/c/b/ecb779238114c69eb85d404c3d6c1602.png)
dana wzorem:
-
- μ(A) = 1, gdy istnieje
, taki że 
, oraz - μ(A) = 0 w przeciwnym wypadku, dla
- μ(A) = 1, gdy istnieje
jest miarą. Miarę tę nazywamy miarą Dieudonné[1].
[edytuj] Własności
- μ(ω1) = 1, więc miara Dieudonné jest miarą probablilistyczną.
- Miara Dieudonné jest regularna.
- Miara Dieudonné jest zupełna.
- Ciekawą własnością tej miary jest to, iż przyjmuje tylko dwie wartości - 0 i 1.
- Przy założeniu AD, każdy podzbiór ω1 jest mierzalny w sensie miary Dieudonné (czyli każdy podzbiór ω1 albo jest niestacjonarny albo zawiera zbiór domknięty nieograniczony). Jednocześnie istnieje podzbiór produktu
który nie jest mierzalny względem odpowiedniej miary produktowej [2]. (To ostatnie stwierdzenie jest twierdzeniem w ZF+DC.)
[edytuj] Bibliografia
- ↑ Fremlin, David: Topological Measure Spaces, "Measure Theory", tom 4. Torres Fremlin. ISBN 0-9538129-4-4 [1]
- ↑ Kharazishvili, A. B.: A note on the Sierpiński partition. Journal of Applied Analysis, 2(1996), strona 43. [2]