Metoda Simpsona

Brak wersji przejrzanej

Funkcja f(x) (niebieska) jest przybliżana funkcją kwadratową P(x) (czerwona) gdzie:

f (a) = f (x 0) = y 0

f (m) = f (x 1) = y 1

f (b) = f (x 2) = y 2

Całkowanie metodą Simpsona – jedna z metod przybliżania wartości całki oznaczonej funkcji rzeczywistej.

Metoda ma zastosowanie do funkcji stablicowanych w nieparzystej liczbie równo odległych punktów (wliczając końce przedziału całkowania). Metoda opiera się na przybliżaniu funkcji całkowanej przez interpolację wielomianem drugiego stopnia.

Znając wartości $y_0,\ y_1,\ y_2$ funkcji $f (x)$ w 3 punktach $x_0,\ x_1,\ x_2$ (przy czym $x_2-x_1 = x_1-x_0 = h\;$ ), przybliża się funkcję wielomianem Lagrange'a, i całkując w przedziale $[x 0, x 2]$ otrzymuje przybliżoną wartość całki:

$\int\limits_{x_0}^{x_2}f(x)dx\approx \frac h 3 (y_0+4y_1+y_2)$

Błąd który przy tym popełniamy jest równy: $R = \frac{1}{90} h^5 |f^{(4)}(c)|$ gdzie:

$c \in [x_0; x_2]$

Nie znamy położenia punktu c więc posługujemy się poniższym szacowaniem, mającym zastosowanie w obliczeniach numerycznych:

$R \leq \frac{1}{90} h^5 \max_{x \in [x_0; x_2]} |f^{(4)}(x)|$

Znając wartości funkcji w 2k+1 kolejnych, równo odległych punktach $x_0,\,x_1,\dots x_n$ (gdzie n=2k), możemy iterować powyższy wzór na k przedziałów:

$\int\limits_{x_{2i-2}}^{x_{2i}}f(x)dx\approx \frac h 3 (y_{2i-2}+4y_{2i-1}+y_{2i}),\quad i=1,\,2,\,\dots\,k,\quad k=\frac n 2$

otrzymując:

$\int\limits_{x_0}^{x_n}f(x)dx=\sum_{i=1}^k \int\limits_{x_{2i-2}}^{x_{2i}}f(x)dx\approx \frac h 3 \left( y_0+4\sum_{i=1}^k y_{2i-1}+2\sum_{i=1}^{k-1} y_{2i}+y_n \right)$

Wartość błędu jakim są obarczone wyliczenia wyraża się wzorem:

$R \leq \frac{1}{180} (x_n - x_0) h^4 \max_{x \in [x_0; x_n]} |f^{(4)}(x)|$

By czytelnik mógł go odnieść do rysunku:

x n = b

;

f (x n) = y n

x 0 = a

;

f (x 0) = y 0

Geometrycznie metoda ta odpowiada zastąpieniu w każdym z kolejnych k przedziałów zmiennej x łuku wykresu funkcji y=f(x) łukiem paraboli, przeprowadzonej przez trzy kolejne węzły interpolacji (punkty wykresu o znanych współrzędnych), odpowiadające początkowi, środkowi i końcowi kolejnego przedziału.

Źródło: „http://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_Simpsona”

Kategoria: Metody numeryczne