Kolaps Mostowskiego

Kolaps Mostowskiego (kolaps przechodni) – zbiór przechodni który wraz z relacją należenia jest izomorficzny z daną ufundowaną relacją ekstensjonalną. Termin kolaps Mostowskiego jest też używany na określenie samego izomorfizmu z wyjściowego zbioru z relacją na zbiór przechodni.

Izomorfizm ten był użyty przez Kurta Gödla w 1937 w niebezpośredniej formie ^[1]. Samodzielne twierdzenie o istnieniu kolapsów przechodnich było sformułowane i udowodnione przez Andrzeja Mostowskiego w 1949^[2].

Twierdzenie o kolapsie Mostowskiego jest nazywane także twierdzeniem o ściąganiu^[3].

[edytuj] Definicje

Relacja dobrze ufundowana (lub po prostu relacja ufundowana) to relacja R, dla której nie istnieje nieskończony R-zstępujący ciąg $(a n) n$ , czyli taki nieskończony ciąg elementówzbioru X, w którym każdy element jest w relacji z następującym bezpośrednio przed nim:

$\;a_2\; R\; a_1$ , $a_3 \; R\; a_2$ , $a_4 \; R\; a_3\ldots$ .

Powiemy, że relacja dwuczłonowa R na zbiorze X spełnia warunek ekstensjonalności (jest ekstensjonalna) jeśli dla wszystkich $x,y\in X$ zachodzi implikacja:

jeśli $(\forall z\in X)(z\; R\; x\Leftrightarrow z\; R\; y)$ to

x = y

Zbiór S jest przechodni (tranzytywny) jeśli każdy jego element jest jednocześnie jego podzbiorem, czyli gdy spełniony jest warunek

$(\forall x\in S)(\forall y\in x)(y\in S)$ .

[edytuj] Twierdzenie

Załóżmy że R jest dwuczłonową relacją ufundowaną na zbiorze X. Przypuśćmy również, że relacja ta spełnia warunek ektensjonalności. Wówczas istnieje dokładnie jeden zbiór przechodni S oraz dokładnie jedna bijekcja $\pi:X\longrightarrow S$ takie, że dla wszystkich $x,y\in X$ mamy:

$\pi(x)\in \pi(y)\Leftrightarrow x\;R\;y$ .

Zbiór S nazywa się kolapsem Mostowskiego relacji R , czasem ten sam zwrot jest używane w odniesieniu do odwzorowania $π$ .

[edytuj] Przykłady

Kolaps Mostowskiego zbioru przechodniego jest tym samym zbiorem. Zatem, w szczególności, kolaps Mostowskiego liczby porządkowej jest tą samą liczbą.
Relacja $<$ naturalnego porządku na zbiorze P parzystych liczb naturalnych jest zarówno ufundowana i ekstensjonalna. Kolaps relacji $(P, < )$ to zbiór liczb naturalnych

$\omega=\Big\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\},\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\},\ldots\Big\}$ .

W teorii forsingu często używa się kolapsów Mostowskiego w następującej sytuacji. Mamy daną pewną (dużą) regularną liczbą kardynalną $χ$ i rozważamy rodzinę ${\mathcal H}(\chi)$ wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż $χ$ . Przypuśćmy, że $N$ jest przeliczalnym elementarnym podmodelem $({\mathcal H}(\chi),\in)$ . (Istnienie takich podmodeli wynika z dolnego twierdzenia Löwenheima-Skolema.) Wówczas istnieje (jedyny) przeliczalny tranzytywny zbiór M taki, że model $(N,\in)$ jest izomorficzny z $(M,\in)$ .

Przypisy

↑ Za artykułem o Gödlu w Stanfordzkiej Encyklopedii Filozofii, Uniwersytet Stanforda (w języku angielskim)
↑ Mostowski, Andrzej: An undecidable arithmetical statement. "Fundamenta Mathematicae" 36 (1949), strony 143-164.
↑ Zobacz np: Guzicki, Wojciech; Zbierski, Paweł: Podstawy teorii mnogości. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1978. Strona 14.

Źródło: „http://pl.wikipedia.org/wiki/Kolaps_Mostowskiego”

Kategorie: Teoria mnogości • Relacje