Funktor (teoria kategorii)

Funktor (funktor kowariantny) $F$ z kategorii $C$ do $D$ to przyporządkowanie

takie, że:

Dla każdego obiektu $X \in C$ zachodzi $F(\operatorname{id}_X) = \operatorname{id}_{F(X)}$
Dla każdych morfizmów $f\colon X \to Y$ , $g\colon Y \to Z$ zachodzi $F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)$ .

Funktor kontrawariantny to funktor $F \colon C^{op} \to D$ .

Przykłady:

Funktor zapominania: przyporządkowując każdej grupie $(G, \cdot)$ zbiór $G$ i każdemu homomorfizmowi $f \colon G \to H$ funkcję $f\colon G \to H$ otrzymujemy funktor z kategorii grup Grp w kategorię zbiorów Set. Podobnie mamy funktory zapominania $\operatorname{Top} \to \operatorname{Set}$ , $\operatorname{Ab} \to \operatorname{Grp}$ itd.
Funktor identycznościowy $F \colon C \to C$ określony przez $F (X) = X$ i $F (f) = f$ .
Funktor grupy wolnej przyporządkowujący każdemu zbiorowi $X$ grupę wolną nad $X$ .
Funktorami między dwoma posetami (traktowanymi jako kategorie) są funkcje monotoniczne.

[edytuj] Zobacz też