Funkcja uwikłana

Brak wersji przejrzanej

Funkcja uwikłana – funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości funkcji od jej argumentu, lecz bardziej złożonym związkiem, który nie daje się prosto przekształcić na jawny wzór. Formalnie:

Spis treści

1 Definicja
2 Przykłady
3 Lokalna jednoznaczność funkcji uwikłanej
4 Źródła

[edytuj] Definicja

Niech $X, Y$ będą przestrzeniami unormowanymi, $D\subseteq X\times Y$ oraz $f\colon D\to Y$ będzie ciągła. Każdą funkcję $\varphi\colon U\to Y$ , gdzie $U$ jest pewnym podzbiorem $X$ , spełniającą dla każdego $x\in U$ równanie $f(x,\varphi(x))=0$ nazywamy funkcją uwikłaną funkcji $f$ albo funkcją uwikłaną określoną przez równanie $f (x, y) = 0$ .

Wyznaczanie funkcji uwikłanej sprowadza się do rozwiązania równania $f (x, y) = 0$ względem $y$ .

[edytuj] Przykłady

Ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu po prostej, zakreśla krzywą, zwaną cykloidą. W odpowiednio dobranym kartezjańskim układzie współrzędnych odcięta $x$ tego punktu równa jest $x = r \cdot ( t - \sin t )$ . Parametr $t$ oznacza odległość, o jaką przetoczył się okrąg, a więc przy stałej prędkości toczenia można wartość $t$ utożsamić z upływającym czasem. Każda wartość odciętej $x$ odpowiada innej chwili $t$ . Można więc mówić o funkcji $\varphi$ , która przypisuje każdej pozycji punktu $x$ cykloidy wartość $t$ – chwilę, w której punkt znajdował się na pozycji $x$ . Funkcja $\varphi$ nie daje się wyrazić w sposób jawny, tj. wzorem postaci $t = \varphi \left( x \right)$ jest to funkcja uwikłana przez równanie $x = r \cdot ( t - \sin t )$ .
Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej. Niech $U$ oznacza napięcie elektryczne przyłożone do tego zestawu, zaś $I$ natężenie płynącego w nim prądu. Z natury połączenia szeregowego wynika, że natężenie prądu w oporniku i diodzie jest takie samo, równe $I$ , zaś napięcie na całym zestawie jest sumą napięć na obu elementach: $U = U d + U r$ . Prawo Ohma podaje związek pomiędzy napięciem $U r$ na oporniku i płynącym przezeń prądem $I$ ,
${\color{white}-}I = \frac {U_r}{R}$ ,
gdzie $R$ oznacza opór opornika.
Związek pomiędzy napięciem $U d$ panującym na diodzie i płynącym przez diodę prądem wyraża równanie Shockleya:
${\color{white}-}I = I_S \cdot \left( e^{\frac{U_d}{c}} -1 \right)$ ,
w którym $I S, c$ - stałe charakterystyczne dla konkretnej diody i temperatury pracy, zaś $e$ – podstawa logarytmu naturalnego.
Powyższe związki można rozwiązać ze względu na napięcia, otrzymując:
${\color{white}-}U_r = I \cdot R$ ,
${\color{white}-}U_d = c \cdot \ln \left( \frac {I}{I_S} + 1 \right)$
To pozwala zapisać związek pomiędzy napięciem $U$ przyłożonym do połączenia opornik-dioda i natężeniem płynącego prądu $I$
${\color{white}-}U = I \cdot R + c \cdot \ln \left( \frac{I}{I_S} + 1 \right)$ ( $\star$ ).
Oczywiście natężenie prądu zależy od przyłożonego napięcia. Jednak zależność ta nie daje się wyrazić jawnym wzorem - jest to funkcja uwikłana określona przez równanie ( $\star$ ).

[edytuj] Lokalna jednoznaczność funkcji uwikłanej

Aby uniknąć kłopotów z wieloznacznością funkcji uwikłanej, bada się jej istnienie w sensie lokalnym, tj. istnienie takiej funkcji $y=\varphi(x)$ , która jest określona w pewnym otoczeniu punktu $x = x 0$ , spełnia w tym otoczeniu warunek $f(x,\varphi(x))=0$ oraz $\varphi(x_0)=y_0$ . Oczywiście jest to możliwe tylko wtedy, gdy $x 0$ i $y 0$ są tak dobrane, że $f (x 0, y 0) = 0$ . Prawdziwe jest następujące twierdzenie.

[edytuj] Twierdzenie o funkcji uwikłanej

Niech $X, Y$ będą przestrzeniami Banacha. Jeżeli $D\subseteq X\times Y$ jest zbiorem otwartym, a $f\colon D\to Y$ funkcją klasy $C 1$ i dla pewnego punktu $(x_0,y_0)\in D$

f (x 0, y 0) = 0

oraz pochodna cząstkowa $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\in\operatorname{Isom}(Y;Y)$ ,

to istnieją liczby $δ > 0$ i $η > 0$ oraz funkcja $\varphi\colon k(x_0,\delta)\to k(y_0, \eta)$ klasy $C 1$ , że

$k(x_0,\delta)\times k(y_0,\eta)\subseteq D$ ,
dla każdego punktu $x\in k(x_0, \delta)$ jedynym punktem $y\in k(y_0, \eta)$ spełniającym równanie $f (x, y) = 0$ jest punkt $y=\varphi(x)$ .

Założenie zupełności przestrzeni unormowanych jest niezbędne, gdyż dowód twierdzenia o funkcji uwikłanej opiera się o twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie.

[edytuj] Twierdzenie o różniczkowaniu funkcji uwikłanej

Niech $X, Y$ będą przestrzeniami Banacha, $D\subseteq X\times Y$ będzie zbiorem otwartym oraz $f\colon D\to Y$ funkcją klasy $C 1$ taką, że różniczka cząstkowa $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\in\operatorname{Isom}(Y;Y)$ dla każdego $(x,y)\in D$ . Dalej niech dana będzie funkcja ciągła $\psi\colon U\to Y$ , gdzie $U$ jest podzbiorem otwartym przestrzeni $X$ . Jeżeli dla każdego $x\in U$

$(x,\psi(x))\in D$ oraz

f (x,ψ(x)) = 0

to $ψ$ jest funkcją klasy $C 1$ i dla każdego $x\in U$ różniczka:

$d \psi (x)=-\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x,\psi(x))\right)^{-1}\circ \frac{\partial f}{\partial x}(x,\psi(x))$ .

[edytuj] Funkcje rzeczywiste

Niech $D\subseteq \mathbb{R}^2$ będzie zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja $f\colon D\to \mathbb{R}$ jest klasy $C 1$ i dla pewnego punktu $(x_0,y_0)\in D$ spełnia warunki:

f (x 0, y 0) = 0

oraz $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\neq 0$ ,

to w pewnym otoczeniu punktu $x 0$ istnieje dokładnie jedna funkcja ciągła $y=\varphi(x)$ , spełniająca warunki $y_0=\varphi(x_0)$ oraz $f(x,\varphi(x))=0$ dla $x$ z tego otoczenia.
Ponadto, jeśli w otoczeniu punktu $(x 0, y 0)$ istnieje ciągła pochodna cząstkowa $\frac{\partial f}{\partial x}$ , to funkcja uwikłana $y=\varphi(x)$ ma ciągłą pochodną daną wzorem

$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}$ .

[edytuj] Inne twierdzenia

Czasem przez twierdzenie o funkcji uwikłanej rozumie się następujące twierdzenie:

Niech $X, Y, Z$ będą przestrzeniami Banacha, $U\subseteq X, V\subseteq Y$ będą otoczeniami zera (odpowiedniej przestrzeni). Jeśli $\varphi\colon U\to V, \psi\colon V\to Z$ są funkcjami klasy $C 1$ takimi, że

$\varphi(0)=0, \psi(0)=0$ ,
$\varphi\circ \psi\equiv 0$ ,
$\operatorname{im}\;d\varphi(0)=\operatorname{ker}\;d\psi(0)$
$\operatorname{im}\;d\psi(0)$ jest zbiorem domkniętym

wówczas istnieje takie otoczenie zera $W\subseteq V$ , że

$\psi^{-1}(0)\cap W=\varphi(U)\cap W$ .

[edytuj] Źródła

Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.
Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach 2. Warszawa: PWN, 2005.
Jinpeng An, Karl-Herman Neeb: An implicit function theorem for Banach spaces and some applications. 2007.

Źródło: „http://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_uwik%C5%82ana”

Kategorie: Analiza matematyczna • Funkcje matematyczne