Funkcja charakterystyczna (teoria prawdopodobieństwa)

Brak wersji przejrzanej

Ten artykuł dotyczy teorii prawdopodobieństwa. Zobacz też: artykuł o funkcji charakterystycznej zbioru.

Funkcją charakterystyczną zmiennej losowej $X:\Omega\to\mathbb R$ nazywamy funkcję $\varphi_X:\mathbb R\to\mathbb C$ zadaną wzorem

$\varphi_X(t)={\mathbb E}(e^{itX})$ dla $t\in\mathbb R$

gdzie $\mathbb E$ to wartość oczekiwana

Na funkcję charakterystyczną można patrzeć jako na transformatę Fouriera rozkładu zmiennej losowej.

Wiele własności rozkładów daje się wyrazić w języku funkcji charakterystycznych, używanie ich prowadzi do uproszczenia szeregu zagadnień. Jednym z ważniejszych twierdzeń dotyczących funkcji charakterystycznych jest twierdzenie Lévy'ego-Craméra.

[edytuj] Uwaga

Jeśli X jest zmienną losową o wartościach wektorowych, to argument t jest wektorem, zaś tX jest iloczynem skalarnym.

[edytuj] Własności

Niech $\varphi_X$ będzie funkcją charakterystyczną zmiennej losowej X. Wówczas

$\varphi_X(0)=1$
$|\varphi_X(t)|\leq 1$
$\varphi_X(t)=\overline{\varphi_X(-t)}$
$\varphi_X$ jest dodatnio określona
$\varphi_X(t)$ jest jednostajnie ciągła ze względu na t

Kryterium określającego kiedy funkcja $\varphi:\mathbb R\to\mathbb C$ jest funkcją charakterystyczną pewnego rozkładu prawdopodobieństwa dostarcza twierdzenie Bochnera.

Z funkcji charakterystycznej $\varphi_X$ da się wyznaczyć momenty zmiennej losowej X. Jeżeli n-ty moment zmiennej losowej |X| istnieje, to istnieje również n-ta pochodna funkcji charakterystycznej $\varphi_X$ oraz zachodzi

$\varphi_X^{(n)}(0)=i^n{\mathbb E}(X^n).$

Funkcja charakterystyczna determinuje rozkład, to znaczy jeśli dwa rozkłady prawdopodobieństwa $μ$ i $ν$ mają równe funkcje charakterystyczne, to $μ = ν$ .

[edytuj] Literatura

J.Jakubowski, R.Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, wydanie II, str. 190-198

[edytuj] Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki

Źródło: „http://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_charakterystyczna_(teoria_prawdopodobie%C5%84stwa)”

Kategorie: Funkcje matematyczne • Rachunek prawdopodobieństwa