Aproksymacja liniowa

Brak wersji przejrzanej

Styczna do wykresu funkcji przechodząca przez punkt (a, f(a))

Aproksymacja liniowa funkcji to przybliżenie jej za pomocą funkcji liniowej.

Dla danej funkcji funkcji różniczkowalnej f jednej zmiennej, na mocy wzoru Taylora z n=1 można napisać:

$f(x) = f(a) + f\ '(a)(x - a) + R_2$

gdzie $R 2$ jest resztą wzoru, spełniającą warunek:

$\frac{R_2}{x-a}\to_{x\to a} 0$

Wyrażenie aproksymujące powstaje przez odrzucenie reszty:

$f(x) \approx f(a) + f\ '(a)(x - a)$

i przybliżenie to jest tym lepsze, im x jest bliższe a. Wyrażenie po prawej stronie przedstawia równanie prostej stycznej do wykresu funkcji $f (x),$ w punkcie o współrzędnych $(a,f(a))\,$ .

Analogiczne wyrażenie otrzymamy dla funkcji o wartościach (lub argumentach) wektorowych, przy czym pochodną zastępuje macierz Jacobiego funkcji. Na przykład, jeżeli $f (x, y)$ jest funkcją rzeczywistą dwu zmiennych, otrzymujemy wzór:

$f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+\frac{\partial f}{\partial x}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+\frac{\partial f}{\partial y}\left(a,b\right)\left(y-b\right).$

Wyrażenie po prawej stronie przedstawia równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni, będącej wykresem funkcji $z = f (x, y)$ punkcie o współrzędnych $(a, b, f(a,b)).\,$

Uogólnienie powyższego na przypadek przestrzeni Banacha wygląda następująco:

$f(x) \approx f(a) + Df(a)(x - a)$

gdzie $D f (a)$ jest pochodną Frecheta funkcji $f$ dla $x = a$ .

[edytuj] Przykład

Aproksymację liniową można wykorzystać do obliczenia przybliżonej

wartości $\sqrt[3]{25}$ .

Rozważamy funkcję $f(x)= x^{1/3}.\,$ Problem polega na

obliczeniu przybliżonej wartości funkcji $f (25)$ .

Jest

$f\ '(x)= 1/3x^{-2/3}.$
Korzystając z aproksymacji liniowej

$f(25) \approx f(27) + f\ '(27)(25 - 27) = 3 - 2/27.$
Otrzymany wynik 2,926, niewiele różni się od wartości dokładnej 2,924…

Źródło: „http://pl.wikipedia.org/wiki/Aproksymacja_liniowa”

Kategorie: Pochodne • Metody numeryczne