Algebra Liego

Brak wersji przejrzanej

Algebra Liego – w matematyce, struktura algebraiczna z określonym działaniem dwuargumentowym zwanym nawiasem Liego. Algebry Liego mają swoje zastosowanie m.in. podczas studiowania grup Liego.

Spis treści

1 Definicja
2 Przykłady
3 Generatory
4 Przykłady
5 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Algebra Liego nad ciałem $K$ (zwykle $K = \mathbb C$ lub $K = \mathbb R$ ) to przestrzeń liniowa $X$ nad ciałem $K$ z określonym działaniem dwuargumentowym $[\cdot, \cdot]\colon X \times X \to X$ , nazywanym nawiasem Liego lub komutatorem, spełniającym dla dowolnych $x, y, z \in X$ i $\alpha, \beta \in K$ następujące warunki:

dwuliniowość:

$[α x + β z, y] = α[x, y] + β[z, y]$ ,

$[x,α y + β z] = α[x, y] + β[x, z]$ ,
antysymetryczność:

$[x, y] = - [y, x]$ ,
tożsamość Jacobiego

$\left[x, [y, z]\right] + \left[y, [z, x]\right] + \left[z, [x, y]\right] = 0$ .

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Przemienna algebra Liego

Dowolna przestrzeń liniowa, w której zdefiniujemy nawias Liego dowolnych dwóch elementów jako równy zero, jest algebrą Liego. Taką algebrę Liego nazywamy przemienną lub abelową.

[edytuj] Iloczyn wektorowy

Nawias Liego w przestrzeni $\mathbb R^3$ definiujemy jako iloczyn wektorowy elementów. Łatwo sprawdzić, że takie działanie spełnia warunki z definicji algebry Liego.

[edytuj] Komutator

Algebrą Liego jest dowolna algebra łączna, w której definiujemy nawias Liego jako komutator, czyli

[a, b] = a b - b a

Komutator automatycznie spełnia wszystkie trzy warunki z definicji nawiasu Liego.

Szczególnymi przypadkami tego rodzaju algebr Liego są:

algebra $\mathfrak l(n, \mathbb C)$: zbiór wszystkich macierzy kwadratowych wymiaru $n$ o elementach zespolonych:
algebra $\mathfrak{sl}(n, \mathbb C)$: podalgebra $\mathfrak l(n, \mathbb C)$ macierzy o śladzie równym zeru;
algebra $\mathfrak u(n, \mathbb C)$: podalgebra $\mathfrak l(n, \mathbb C)$ macierzy antyhermitowskich;
algebra $\mathfrak{su}(n, \mathbb C)$: podalgebra $\mathfrak l(n, \mathbb C)$ będąca przecięciem dwóch powyższych;
algebra $\mathfrak{so}(n, \mathbb R)$: algebra antysymetrycznych macierzy kwadratowych wymiaru $n$ o elementach rzeczywistych, w szczególności z antysymetryczności wynika, że ślad tych macierzy jest równy zeru.

[edytuj] Generatory

Istnieje pewne podobieństwo definicji zbioru generatorów grupy do definicji bazy przestrzeni liniowej.

Algebra Liego rozpięta jest na zbiorze liniowo niezależnych elementów (zbioru generatorów) $X = x i e i$ . Jest ona zdefiniowana przez wszystkie możliwe komutatory generatorów

[e_i,e_j] =	∑	f_i,j,ke_k
	k

Współczynniki $f i, j, k$ nazywamy stałymi strukturalnymi. Jeżeli wszystkie komutatory są równe zeru, to algebra (grupa) jest nazywana abelową lub przemienną.

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Przesunięcia w przestrzeni trójwymiarowej

Zbiór generatorów ma trzy elementy: przesunięcie jednostkowe w kierunku osi $O x$ , $O y$ i $O z$ . Oznaczmy je przez $X, Y, Z$ . Algebra Liego tej grupy to

[X, Y] = [Y, Z] = [Z, X] = 0

Jest to więc grupa przemienna.

[edytuj] Obroty w przestrzeni trójwymiarowej

Zbiór generatorów ma trzy elementy: obrót jednostkowy w prawo wokół osi $O x$ , $O y$ i $O z$ . Oznaczmy je przez $e 1$ , $e 2$ , $e 3$ . Algebra Liego tej grupy:

[e 1, e 2] = e 3

[e 2, e 3] = e 1

[e 3, e 1] = e 2

Stałe strukturalne $f i, j, k = ε i, j, l$ określone są przez symbol Leviego-Civity w następujący sposób:

$f i, j, k = 1$ , gdy permutacja $(123)$ jest parzysta,
$f i, j, k = - 1$ , gdy permutacja ta jest nieparzysta,
$f i, j, k = 0$ , gdy któryś ze wskaźników się powtarza.

Jeżeli obrócimy układ o $90^\circ$ w prawo wokół osi $O x$ oraz $90^\circ$ w prawo wokół osi $O y$ , a następnie $90^\circ$ w lewo wokół osi $O x$ i $90^\circ$ w lewo wokół osi $O y$ , to nie wrócimy do punktu wyjścia – układ będzie obrócony o $90^\circ$ w lewo wokół osi $O z$ oraz $90^\circ$ w lewo wokół osi $O y$ w stosunku do układu początkowego. Nie jest to więc grupa abelowa.

[edytuj] algebra $\mathfrak{su}(2)$

Zbiór bezśladowych macierzy wymiaru $2 \times 2$ rozpięty jest na trzech macierzach Pauliego $σ i$ (macierze te używane są także do opisu cząstek ze spinem połówkowym). Generatorami algebry $\mathfrak{su}(2)$ są

$e_i = -\tfrac{1}{2}i \sigma_i$

Algebra $\mathfrak{su}(2)$ jest algebrą Liego grupy SU(2) oraz grupy grupy SO(3) – grupy obrotów w przestrzeni trójwymiarowej.

[edytuj] Zobacz też

Źródło: „http://pl.wikipedia.org/wiki/Algebra_Liego”

Kategoria: Algebra