Funkcja addytywna zbioru

Ten artykuł dotyczy własności funkcji określonej na ciele zbiorów. Zobacz też: addytywność funkcji w algebrze oraz addytywność w fizyce.

Funkcja addytywna zbioru – funkcja określona na pewnym ciele zbiorów o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych, której wartość dla sumy dwóch zbiorów rozłącznych jest sumą wartości dla każdego z tych zbiorów. Blisko związanymi pojęciami są σ-addytywność oraz podaddytywność.

[edytuj] Definicje

Niech ${\mathcal F}$ będzie ciałem podzbiorów pewnej przestrzeni $X$ oraz niech $f:{\mathcal F}\longrightarrow {\mathbb R}$ .

Mówimy, że funkcja $f$ jest funkcją podaddytywną (subaddytywną), jeśli

$f(A\cup B) \leqslant f(A)+ f(B)$ dla wszystkich $A,B\in {\mathcal F}$ .

Powiemy, że $f$ jest funkcją addytywną, jeśli

$f(A\cup B)=f(A)+ f(B)$ dla wszystkich rozłącznych $A,B\in {\mathcal F}$ .

Załóżmy dodatkowo, że ${\mathcal F}$ jest σ-ciałem podzbiorów przestrzeni $X$ . Mówimy wówczas, że funkcja $f:{\mathcal F}\longrightarrow {\mathbb R}$ jest σ-addytywna (przeliczalnie addytywna) jeśli

$f\left(\bigcup_{n = 0}^{\infty}~A_n\right) = \sum_{n = 0}^{\infty}~f(A_n)$ dla wszystkich parami rozłącznych zbiorów $A_0,A_1,A_2,\ldots\in {\mathcal F}$ .

Często funkcjami (pod)addytywnymi zbiorów nazywa się funkcje określone na $\mathcal{F}$ o wartościach w pewnej strukturze algebraicznej, w której określone jest działanie dodawania (jak np. grupa abelowa, przestrzeń liniowa), spełniające analogiczne warunki, jak wyżej. Addytywne funkcje zbiorów o wartościach w rzeczywistych bądź zespolonych przestrzeniach unormowanych nazywane są, na przykład miarami wektorowymi.

[edytuj] Przykłady i własności

Podmiary są funkcjami podaddytywnymi.
Każda miara jest funkcją σ-addytywną. Miary skończenie addytywne są funkcjami addytywnymi.
Jeśli $f:{\mathcal F}\longrightarrow {\mathbb R}$ jest funkcją addytywną, to

$f(\bigcup_{n=0}^N A_n)=\sum_{n=0}^Nf(A_n)$ dla wszystkich parami rozłącznych zbiorów $A_0,A_1,\ldots, A_N\in {\mathcal F}$ .

Wahanie miary wektorowej jest addytywną funkcją zbiorów. Wahanie miary wektorowej σ-addytywnej jest miarą (a więc funkcją σ-addytywną).

[edytuj] Zobacz też

Źródło: „http://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_addytywna_zbioru”

Kategorie: Funkcje matematyczne • Teoria miary