מתמטיקה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

מתמטיקה היא מכלול הידע והתחום האקדמי החוקר מושגים כגון כמות, מבנה, מרחב ושינוי. המתמטיקאים חוקרים את המושגים הללו, במטרה להעלות השערות חדשות ולבסס את אמיתותן באמצעות הוכחות פורמליות דדוקטיביות הנובעות מתוך אקסיומות (הנחות יסוד שאי אפשר להוכיחן או להפריכן), והגדרות שנבחרו בהתאם.^[1]

המתמטיקה התפתחה - באמצעות שימוש בהפשטה ובהנמקה לוגית - מספירה, חישוב, מדידה ומהמחקר השיטתי של צורות ותנועה של עצמים מוחשיים. הידע והשימוש במתמטיקה בסיסית היוו תמיד חלק טבעי וחיוני בחיי האדם והקבוצה. ניתן למצוא שכלולים של הרעיונות הבסיסיים בטקסטים המתמטיים שהגו המצרים, הבבלים, ההודים, הסינים, היוונים והמוסלמים. טיעונים פורמליים (באמצעות אקסיומות) הופיעו לראשונה במתמטיקה היוונית, ובמיוחד ב"יסודות" של אוקלידס. פיתוח המתמטיקה המשיך, בצורה בלתי מסודרת, עד תקופת הרנסאנס במאה ה-16, כאשר החידושים המתמטיים קיימו יחסי גומלין עם התגליות המדעיות של התקופה, מה שהוביל להאצה במחקר המתמטי שנמשכת עד היום.^[2]

המתמטיקה משמשת ככלי חיוני בתחומים רבים, ובכלל זה במדעי הטבע, בהנדסה, ברפואה ואף במדעי החברה כגון כלכלה ופסיכולוגיה. בעיות שמקורן בענפי מדע אחרים ממשיכות להוות זרז ומניע לתגליות מתמטיות חדשות, ולעתים מתפתחים תחומים מתמטיים חדשים לחלוטין בעקבות זאת. במקביל מתפתחת המתמטיקה כענף ידע נרחב ועצמאי, ללא התייחסות ליישומו בענפי מדע אחרים, אם כי לעתים קרובות מתגלים בהמשך יישומים מעשיים לתגליות שהחלו כמתמטיקה עיונית בלבד.

לוח גדוש בהגדרות, משפטים ומשוואות, מראה אופייני בדיון או הרצאה העוסקים במתמטיקה

[עריכה] אטימולוגיה

מקור המילה "מתמטיקה" במילה היוונית העתיקה μάθημα (מתמה, máthēma), שפירושה: "למידה, לימוד, מדע". בנוסף קיבלה המילה, עוד בעת העתיקה, את המשמעות הצרה יותר של "לימוד מתמטי". שם התואר המתאים ביוונית הוא μαθηματικός (מתמטיקוס, mathēmatikós), שפירושו: "קשור ללמידה"; כמו השם שהוא נגזר ממנו, גם התואר קיבל משמעות צרה יותר, דהיינו "מתמטי, קשור למתמטיקה". התואר משמש בפרט בביטוי μαθηματικὴ τέχνη (מתמטיקה טכנה, mathēmatikḗ tékhnē), כלומר (בתרגום חופשי) "מקצוע המתמטיקה", או בלטינית ars mathematica (ארס מתמטיקה), כלומר "אמנות המתמטיקה".

שמואל אבן תיבון, בתרגומו ל"מורה נבוכים", בתחילת המאה ה-13, השתמש במילה "לימודיים" במשמעות של מתמטיקה. בכך הלך ישירות על פי הערבית ("תעאלים") והיוונית. יהודה אלחריזי, שתרגם אף הוא את "מורה נבוכים", השתמש בביטויים "חכמת הלימודים" ו"חכמות לימודיות" במשמעות של מתמטיקה.^ה[›]

בעברית ישראלית משמשת המילה "מתמטיקה". בכיתות הנמוכות מכונים לימודי המתמטיקה "חשבון" (אריתמטיקה בסיסית) ו"הנדסה" (גאומטריה בסיסית).

[עריכה] היסטוריה

ערך מורחב – היסטוריה של המתמטיקה

ספרות מאיה

משולש על משטח בגאומטריה היפרבולית. פיתוח הגאומטריה הלא אוקלידית העקבית במאה ה-19 הדגיש את חשיבותן של השימוש באקסיומות כנגד החשיבה האינטואיטיבית.

את התפתחות המתמטיקה ניתן לראות כסדרה גדלה והולכת של הפשטות או פיתוחים של נושאים שונים. ההפשטה הראשונה הייתה, ככל הנראה, של המספרים: ההבחנה כי לשני תפוחים ולשני תפוזים (לדוגמה) יש תכונה משותפת היוותה פריצת דרך בחשיבה האנושית.

בנוסף להבנה כיצד לספור חפצים מוחשיים, בני האדם הפרהיסטורים הבינו גם כיצד לספור חפצים מופשטים, כגון יחידות זמן - ימים, עונות ושנים. משם נבעה באופן טבעי האריתמטיקה, הכוללת את ארבע פעולות החשבון: חיבור, חיסור, כפל וחילוק.

על מנת להשיג התקדמות נוספת, נדרשה כתיבה או מערכת אחרת לרשימת מספרים, כגון מקל ספירה או קיפו, התקן ספירה הבנוי מחוטים וקשרים ושימש את בני האינקה לשמירת מידע מספרי. שיטות ספירה רבות ומגוונת הומצאו, כאשר המספרים הכתובים העתיקים ביותר הידועים כיום נרשמו ע"י המצרים כ-2000 שנה לפני הספירה בטקסטים כגון פפירוס רינד.

בראשית ההיסטוריה המתועדת, נוצרו התחומים המרכזיים במתמטיקה מתוך הצורך בחישובים לצרכי מס ומסחר, בהבנת הקשר בין המספרים, במדידת שטחים ובחיזוי אירועים שמיימיים. מכאן נבעה החלוקה הבסיסית של המתמטיקה למחקר של כמות, מבנה, מרחב ושינוי.

חפירות ארכאולוגיות מעידות על כך שלחכמי בבל ובמצרים היה ידע במתמטיקה, בין השאר במשוואות ריבועיות, שורש ריבועי, שטחים של צורות מישוריות ושימוש בטבלאות שונות.

מאז, הורחבה המתמטיקה בצורה ניכרת, ויצרה יחסי גומלין פוריים עם תחומי המדע השונים. תגליות מתמטיות חדשות נתגלו לכל אורך ההיסטוריה, וממשיכות להתגלות עד היום. התפתחות המתמטיקה בעת העתיקה הגיעה לשיאה ביוון העתיקה, בזכות מתמטיקאים מפורסמים כמו אוקלידס וארכימדס. בימי הביניים היה עיקר ההתפתחות על ידי הערבים, שפיתחו את האלגברה והטריגונומטריה. במאה ה-17 הייתה פריחה של ענפים שונים במתמטיקה, כגון גאומטריה אנליטית וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, ששימשו הזנק לענפים מדעיים רבים. פיתוח הגאומטריה הלא אוקלידית במאה ה-19 הדגיש את חשיבותן של האקסיומות במתמטיקה, ואת התרחקותה מהגישה האינטואיטיבית. בסוף המאה ה-19 פותחה תורת הקבוצות, והתפתח דיון ביסודות המתמטיקה. במאה ה-20 המשיכה המתמטיקה בהתפתחותה המהירה והושגו הישגים רבים, בהם פתירת רוב הבעיות שנכללו ב-23 הבעיות של הילברט. תחום הלוגיקה זכה להישגים בולטים במאה זו, ונולד תחום מתמטי חדש, מדעי המחשב.

למרות כל ההישגים הללו, המתמטיקה רחוקה מלהיות מושלמת. מתמטיקאים עודם שוקדים על הוכחות למשפטים חדשים ופיתוח רעיונות מתמטיים מקוריים. לשם הדגמה, בבסיס הנתונים של כתב העת Mathematical Review, שנוסד ב-1940, היו בינואר 2006 מעל 1,900,000 מאמרים וספרים, תוך שכ-75 אלף נוספים אליו מדי שנה. רובן המוחלט של עבודות אלו עוסק במשפטים מתמטיים חדשים ובהוכחותיהם.

[עריכה] השראה ואסתטיקה

ערך מורחב – יופי מתמטי

"נניח שיש רק מספר סופי של מספרים ראשוניים. ניקח את כל הראשוניים הללו, נכפיל אותם זה בזה ונוסיף 1. התוצאה שקיבלנו נותנת שארית 1 בחלוקה לכל אחד מהמספרים הראשוניים. לכן תוצאה זו אינה מתחלקת באף אחד מהראשוניים – היא חייבת להיות מספר ראשוני נוסף, או להתחלק במספר ראשוני שאינו ברשימת המספרים הראשוניים שלנו. בכל מקרה קיבלנו שההנחה שיש מספר סופי של ראשוניים מובילה לסתירה, ולכן הנחה זו אינה נכונה, כלומר יש מספר אינסופי של ראשוניים." (אוקלידס, יסודות, ספר תשיעי, משפט 20)

המתמטיקה דרושה לפתרון בעיות העוסקות בכמות, מבנה, מרחב או שינוי. בעיות כאלו נמצאו לראשונה במסחר, במדידת שטחים ומאוחר יותר באסטרונומיה; כיום, הן קיימות בכל המדעים, ואף בתוך המתמטיקה עצמה. הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן המציא את ניסוח אינטגרלי המסלול של מכניקת הקוונטים באמצעות שילוב של טיעונים מתמטיים ותובנה פיזיקלית; וכיום תורת המיתרים, תאוריה מדעית שעודה בתהליכי פיתוח ואשר מנסה לאחד את ארבעת כוחות היסוד של הטבע, מהווה השראה לפיתוח מתמטיקה חדשה (אדוארד ויטן, פיזיקאי שהוא מאבות תורת המיתרים, זכה במדליית פילדס, שהיא הפרס החשוב ביותר במתמטיקה).

רעיונות מסוימים במתמטיקה משמשים אך ורק בתחום שהיווה השראה ליצירתם, אך לעתים רעיונות שנוצרו במקור על מנת לפתור בעיות בתחום מסוים מוכיחים את עצמם כשימושיים בתחומים רבים נוספים, והם מצטרפים לאוסף הכולל של הרעיונות המתמטיים. העובדה הלא-רגילה כי לעתים קרובות ניתן למצוא יישומים מעשיים אף לרעיונות המתמטיים ה"טהורים" ביותר היא מה שכינה הפיזיקאי יוג'ין ויגנר "היעילות הבלתי-הגיונית של המתמטיקה" במאמר משנת 1960.

כמו ברוב תחומי המחקר, גם במתמטיקה נוצר צורך בהתמקצעות עקב הגידול המהיר בהיקף הידע בעידן המדעי. רוב המתמטיקאים בוחרים, לעתים כבר במהלך לימודי התואר הראשון, להתמקצע באחד מתתי-הענפים של המתמטיקה, ובפרט מתמטיקה עיונית או מתמטיקה שימושית. מספר תחומים במתמטיקה השתלבו עם תחומים חוץ-מתמטיים והפכו לתחומי מחקר בפני עצמם, ובכלל זה חקר ביצועים ומדעי המחשב.

עבור העוסקים במתמטיקה, קיים לתחום זה פן אסתטי בלתי מבוטל. מתמטיקאים רבים מדברים על האלגנטיות של המתמטיקה, האסתטיקה העצמית והיופי הפנימי שבה. פשטות והכללה הם עקרונות אסתטיים מוערכים. לדידם, ישנו יופי בכל הוכחה פשוטה ואלגנטית, כגון ההוכחה בדרך השלילה של אוקלידס לקיום אינסוף מספרים ראשוניים, ואף בשיטה נומרית נאה אשר מאיצה חישובים, כגון התמרת פורייה מהירה. גודפרי הרולד הארדי טען בספרו "התנצלותו של מתמטיקאי" כי שיקולים אסתטיים אלו הם, כשלעצמם, סיבה מספקת לעיסוק במחקר במתמטיקה טהורה, ואתו מסכימים רבים מהמתמטיקאים. מתמטיקאים שואפים לעתים קרובות למצוא הוכחות אלגנטיות ככל האפשר למשפטים מתמטיים, תהליך אליו התייחס פאול ארדש כמציאת הוכחות מתוך "הספר בו אלוהים כתב את ההוכחות החביבות עליו". הפופולריות לה זוכים שעשועי מתמטיקה מעידה על ההנאה והעניין אשר רבים מוצאים בפתרון בעיות מתמטיות.

[עריכה] סימון, שפה וריגורוזיות

ערך מורחב – סימון מתמטי

מרבית הסימונים המתמטיים שבשימוש כיום הומצאו רק במאה ה-16 ואילך.^[3] לפני כן, המתמטיקה נכתבה במלים ולא בסימנים - תהליך איטי שהגביל את היכולת המתמטית של בני אותן תקופות. לאונרד אוילר המציא, במאה ה-18, רבים מהסימנים שבשימוש כיום. הסימון המתמטי המודרני הופך את העיסוק במתמטיקה נוח ביותר למקצוענים, אך מתחילים מוצאים אותו מרתיע לעתים. הסימון המתמטי "דחוס" מאוד: ניתן להביע באמצעותו מידע רב מאוד תוך שימוש במספר מועט של סמלים. בדומה לתיווי מוזיקלי, גם לתיווי המתמטי המודרני תחביר מדויק ונוקשה, והוא מקודד מידע שיהיה קשה לכתבו בכל צורה אחרת.

גם השפה המתמטית עשויה להיות קשה להבנה למתחילים. למילים כגון "או" יש משמעות מדויקת, ולעתים שונה, מבלשון היומיומית. בנוסף, מלים כגון "פתוח" ו"שדה" קיבלו משמעות מתמטית מיוחדת. הז'רגון המתמטי כולל מונחים טכניים חדשים רבים, כגון הומיאומורפיזם ואינטגרביליות. ישנה סיבה לכל הסימונים והמונחים המיוחדים: המתמטיקה דורשת דיוק רב בהרבה מלשון היום-יום. המתמטיקאים קוראים לרמת הדיוק הזו בשפה "ריגורוזיות".

דוגמה לריגורוזיות היא ההגדרה שנתן המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטן לואי קושי למושג הגבול שהומצא על ידי אייזק ניוטון ולייבניץ. בעוד ניוטון ולייבניץ השתמשו בביטויים מהצורה "כאשר n שואף לאינסוף, הסדרה שואפת ל..." והניחו שבאינסוף הסדרה אכן מגיעה אל גבולה, קושי הגדיר את הגבול של סדרה באמצעות גדלים סופיים בלבד, בצורה לוגית מדוקדקת. את ההגדרה של קושי ניתן לנסח במילים, אך גם בצורת כתיבה מתמטית לוגית באמצעות כמתים וסימנים המקובלים בקרב הקהילה המתמטית. הניסוח בסימנים המתמטיים קומפקטי יותר, כפי שניתן לראות להלן.

הגדרת הגבול של סדרה:
הגדרה במילים: המספר L ייקרא הגבול של סדרה $\{ a_n \}_{n=1}^{\infty}$ אם לכל מספר חיובי קטן כרצוננו $\varepsilon$ קיים מספר טבעי n₀ כך שלכל מספר טבעי הגדול ממנו המרחק בין a_n ל-L קטן מ- $\varepsilon$ .
הגדרה בסימון מתמטי: $\ \lim_{n\to\infty}{a_n} = L \iff \forall \varepsilon > 0 : \exist n_0 \in \mathbb{N} : \forall n > n_0 : | a_n - L | < \varepsilon$

ריגורוזיות היא מרכיב יסודי בכל הוכחה מתמטית. המתמטיקאים מעוניינים שהמשפטים שהם מנסחים ינבעו מאקסיומות באמצעות הסקת מסקנות שיטתית. רק כך ניתן להימנע מ"משפטים" שגויים, המבוססים על אינטואיציה בלבד, שכמותם הופיעו רבים במהלך ההיסטוריה המתמטית.^ב[›] רמת הריגורוזיות המקובלת אצל המתמטיקאים הייתה תלויה בתקופה: היוונים דרשו טיעונים מפורטים, אך בתקופתו של אייזק ניוטון היה מקובל להשתמש בשיטות פחות קפדניות. בעיות מהותיות בהגדרות בהן השתמש ניוטון הובילו לתחייה המחודשת של ניתוח מדוקדק והוכחות פורמליות במאה ה-19. גם כיום, המתמטיקאים ממשיכים להתווכח בינם לבין עצמם בנוגע להוכחות מתמטיות באמצעות מחשב. חישובים בהיקף גדול קשים לאימות, ולכן יש הטוענים כי הוכחות כאלה אינן ריגורוזיות מספיק.^[4]

בהשקפת העולם המסורתית, אקסיומות היו "אמיתות מובנות מאליהן", אך תפיסה זו היא בעייתית. במישור הפורמלי, אקסיומה היא שרשרת של סמלים, המקבלת משמעות רק בהקשר של נוסחאות הנגזרות ממערכת אקסיומטית. מטרתה של תוכנית הילברט הייתה לבסס את כל המתמטיקה על בסיס אקסיומטי מוצק, אך לפי משפטי האי שלמות של גדל בכל מערכת אקסיומטית חזקה מספיק קיימים משפטים שלא ניתן להוכיחם, ולכן אקסיומטיזציה כפי שהציע אותה הילברט אינה אפשרית. למרות זאת, לעתים קרובות מדברים על המתמטיקה, בכל הנוגע לתוכן הפורמלי שלה, כעת אקסיומטיזציה של תורת הקבוצות ותו לא - במובן שבו כל טענה מתמטית ניתנת לייצוג ע"י נוסחאות בתחום תורת הקבוצות.^[5]

כמות המספרים הראשוניים עד x והפער בינה לבין הערכת הנוסחה שבמשפט המספרים הראשוניים
x	π(x)	π(x) - x/ln(x)
10¹	4	0
10²	25	3
10³	168	23
10⁴	1,229	143
10⁵	9,592	906
10⁶	78,498	6,116

אחת מדרישות הרגורזיות היא הסתמכות על דדוקציה ולא על אינדוקציה. בניגוד למדעי הטבע, בהם הסקת מסקנות מכמות גדולה של מקרים פרטיים אל הכלל מתקבלת כראייה מספקת לנכונותה של טענה, במתמטיקה נדרשות הוכחות ש"לוכדות את האינסוף" ולא רק מספר סופי של מספרים, גדול שכל שיהיה. דרישה זו יכולה להיראות קנטרנית, אך במהלך ההיסטוריה התברר שהיא הכרחית. את חשיבות ההוכחה הריגורזית במתמטיקה הדגימה ההשערה לפיה המספרים 31, 331, 3331 וכו' ראשוניים, שהייתה נכונה למספרים הראשונים בסדרה והופרכה רק כשהתגלה ש-333,333,331 פריק. דוגמה קיצונית אף יותר, גם היא עוסקת במספרים ראשוניים, קשורה למשפט המספרים הראשוניים, שמספק קירוב טוב למספר הראשוניים מתחת למספר x, והוא $\frac{x}{\ln(x)}$ (דהיינו x מחולק בלוגריתם הטבעי שלו). לאחר בדיקת כמות עצומה של מספרים, אפילו טריליון, הערכה זו תמיד מפריזה במעט במספר הראשוניים, אך ג'ון אדנזור ליטלווד גילה שבשלב כלשהו הנוסחה תמעיט בכמות המספרים הראשוניים. משום כך השערות חשובות כמו המשפט האחרון של פרמה והשערת רימן נשארו פתוחות במשך שנים רבות (האחרונה עד היום), למרות שנמצאו להן ראיות, באמצעות מחשבי על, התקפות למספרים רבים.

[עריכה] ענפי המתמטיקה

חשבונייה, כלי חישוב פשוט שנמצא בשימוש מאז העת העתיקה.

כאמור לעיל, התחומים העיקריים במתמטיקה הופיעו כתוצאה מהצורך לבצע חישובים במסחר, להבין את היחסים בין מספרים, למדוד אדמה ולחזות אירועים אסטרונומיים. ארבעת הצרכים הראשוניים האלו מחלקים באופן גס את המתמטיקה לחקר של כמות, מבנה, מרחב ושינוי (אריתמטיקה, אלגברה, גאומטריה ואנליזה, בהתאמה). בנוסף לתחומים אלו, ישנן חלוקות-משנה המיועדות לחקר יסודות המתמטיקה (לוגיקה מתמטית ותורת הקבוצות), לשימושים של המתמטיקה במדעים השונים, ולאחרונה למחקר הריגורוזי באי-ודאות.

[עריכה] כמות

חקר הכמות מתחיל עם מספרים: ראשית, המספרים הטבעיים והשלמים והפעולות הבסיסיות שניתן לבצע עליהם, אשר מאופיינות באמצעות האריתמטיקה. בהמשך, התכונות המורכבות יותר של המספרים השלמים נלמדות בתורת המספרים, אשר ממנה נובעות תוצאות ידועות כגון המשפט האחרון של פרמה. בתורת המספרים נמצאות גם שתי בעיות פתוחות מפורסמות: השערת המספרים הראשוניים התאומים והשערת גולדבך.

לאחר פיתוח נוסף של מערכת המספרים, ניתן לראות כי המספרים השלמים הם תת-קבוצה של המספרים הרציונלים ("שברים"). אלה, בתורם, מהווים חלק מקבוצת המספרים הממשיים, המשמשים לייצוג כמויות רציפות. את המספרים הממשיים ניתן להכליל למספרים מרוכבים, וזהו צעד ראשון בהיררכיה של מספרים אשר ניתן להמשיך אותה עם קווטרניונים ואוקטוניונים. עיון במספרים הטבעיים מניב גם את הסודרים האינסופיים, שנותנים תוקף למושג של ספירה לאינסוף. תחום מחקר נוסף הינו גודל, אשר מוביל לעוצמות ולתפיסה אחרת של האינסוף: מספרי "אלף", המאפשרים השוואה בעלת משמעות בין הגדלים של קבוצות אינסופיות.

$1, 2, 3\,\!$	$-2, -1, 0, 1, 2\,\!$	$-2, \frac{2}{3}, 1.21\,\!$	$-e, \sqrt{2}, 3, \pi\,\!$	$2, i, -2+3i, 2e^{i\frac{4\pi}{3}}\,\!$
מספרים טבעיים	מספרים שלמים	מספרים רציונליים	מספרים ממשיים	מספרים מרוכבים

[עריכה] מבנה

עצמים מתמטיים רבים, כגון קבוצות של מספרים ושל פונקציות, הם בעלי מבנה פנימי. את תכונות המבנה שלהם חוקרים באמצעות התבוננות בחבורות, חוגים, שדות ומבנים מופשטים נוספים, שהם עצמים מתמטיים בפני עצמם. זהו תחום האלגברה המופשטת. מושג חשוב בתחום זה הוא וקטורים, אשר ניתן להכלילם למרחב וקטורי וללמוד אותם במסגרת האלגברה הלינארית. מושג הווקטור משלב בתוכו שלושה מהתחומים היסודיים במתמטיקה: כמות, מבנה ומרחב. אנליזה וקטורית מוסיפה את התחום היסודי הרביעי, שינוי. באמצעות חשבון טנזורים נחקרות סימטריות והתנהגותם של וקטורים תחת סיבובים. מספר שאלות עתיקות על בנייה בסרגל ומחוגה נפתרו לבסוף בתורת גלואה.


תורת המספרים	אלגברה מופשטת	תורת החבורות	תורת הסדר

[עריכה] מרחב

איורי גופים גאומטריים, מתוך ציקלופדיית צ'יימברס

לימוד המרחב התחיל בגאומטריה - בפרט, גאומטריה אוקלידית. טריגונומטריה משלבת מרחב ומספרים. המחקר המודרני במרחב מכליל את הרעיונות האלה לגאומטריה מרובת-ממדים, גאומטריות לא-אוקלידיות (שלהן תפקיד מרכזי בתורת היחסות הכללית) וטופולוגיה. כמות ומרחב משתלבים באמצעות גאומטריה אנליטית, גאומטריה דיפרנציאלית וגאומטריה אלגברית. בתחום הגאומטריה הדיפרנציאלית, אשר שמה דגש על מערכות צירים, חלקות וכיוון, נמצא את המושגים של אגד סיבים ואנליזה על יריעות. בגאומטריה אלגברית מתוארים העצמים הגאומטריים כקבוצת הפתרונות של משוואות פולינומיות, ובכך משתלבים מושגי הכמות והמרחב, וכן נחקרות חבורות טופולוגיות, אשר משלבות מבנה ומרחב. חבורות לי משמשות לחקר מרחב, מבנה ושינוי. טופולוגיה, על תתי-הענפים שלה, הייתה כנראה תחום ההתפתחות הגדול ביותר במאה ה-20, וכוללת את השערת פואנקרה ואת משפט ארבעת הצבעים, שהוכח בעזרת מחשב ונכונותו לא אומתה בידי אדם.


גאומטריה	טריגונומטריה	גאומטריה דיפרנציאלית	טופולוגיה	גאומטריה פרקטלית

[עריכה] שינוי

תיאור והבנת שינוי הוא צורך נפוץ במדעי הטבע, וחשבון אינפיניטסימלי פותח ככלי רב-עוצמה לחקירתו. המושג העיקרי המשמש לתיאור מנה משתנית הוא הפונקציה. המחקר הריגורוזי במספרים הממשיים ובפונקציות המקבלות ערכים ממשיים נקרא אנליזה ממשית, והתחום המקביל החוקר פונקציות של מספרים מרוכבים נקרא אנליזה מרוכבת. השערת רימן, אחת מהשאלות הפתוחות היסודיות ביותר במתמטיקה, נובעת מהאנליזה המרוכבת. אנליזה פונקציונלית מתמקדת במרחבי פונקציות, בדרך כלל בעלי אינסוף ממדים. אחד מהשימושים הרבים של האנליזה הפונקציונלית הוא במכניקת הקוונטים. בפתרון בעיות רבות ניתן להיעזר בקשרים בין כמות לבין קצב השינוי שלה, וקשרים אלה נלמדים בתחום המשוואות הדיפרנציאליות. תופעות רבות בטבע ניתנות לתיאור באמצעות מערכות דינמיות; תורת הכאוס חוקרת בצורה מדויקת את הצורה שבה רבות ממערכות אלה פועלות בצורה בלתי ניתנת לחיזוי אך עדיין דטרמיניסטית. אנליזה נומרית חוקרת שיטות חישוב שונות לפתרון יעיל של קשת רחבה של בעיות חישוביות שאין להן פיתרון אנליטי; היא כוללת את המחקר בשגיאות עיגול ומקורות אחרים לשגיאות בחישוב.


חשבון אינפיניטסימלי	אנליזה וקטורית	משוואות דיפרנציאליות	מערכות דינמיות

תורת הכאוס	אנליזה נומרית	פיזיקה מתמטית	מכניקת הזורמים

[עריכה] יסודות ופילוסופיה

על מנת להסביר את יסודות המתמטיקה פותחו תחומי הלוגיקה המתמטית ותורת הקבוצות, וכן תורת הקטגוריות שעדיין בשלבי פיתוח. "משבר היסודות" הוא הכינוי שניתן בתחילת המאה ה-20 לחיפוש אחר יסודות מתאימים למתמטיקה, הוא תופעה מתמשכת, המומחשת ע"י מספר מחלוקות כגון המחלוקת על תורת קנטור, מחלוקת בראואר-הילברט ומחלוקת בישופ-קייזלר.

לוגיקה מתמטית מתייחסת לקביעת המתמטיקה על מסגרת אקסיומטית קשיחה, וחקר התוצאות של מסגרת כזו. ניתן למצוא בה את משפט האי שלמות השני של גדל, אולי התוצאה המפורסמת ביותר בלוגיקה, אשר מרמזת (בצורה בלתי פורמלית) על כך שכל מערכת פורמלית המכילה אריתמטיקה בסיסית, אם היא חזקה מספיק (כלומר, כל המשפטים שניתן להוכיחם הם נכונים) אזי היא בהכרח בלתי שלמה (כלומר, ישנם משפטים נכונים שלא ניתן להוכיחם במסגרת אותה מערכת). גדל הראה כיצד לבנות, בהינתן אוסף של אסקיומות בתורת המספרים, טענה פורמלית שהיא נכונה, אך אינה נובעת מהאקסיומות הנתונות. מכאן, שום מערכת פורמלית אינה אקסיומטיזציה אמיתית של תורת המספרים במלואה. לוגיקה מודרנית מחולקת לתורת הרקורסיה, תורת המודלים ותורת ההוכחות, והיא בעלת יחסים הדוקים עם מדעי המחשב התאורטיים.

$p \Rightarrow q \,$
לוגיקה מתמטית	תורת הקבוצות	תורת הקטגוריות

[עריכה] מתמטיקה דיסקרטית

מתמטיקה דיסקרטית (או מתמטיקה בדידה) תחום רחב של המתמטיקה העוסק בחקר מבנים מתמטיים בדידים באופיים (להבדיל מהאנליזה המתמטית, המרבה לעסוק במבנים מתמטיים רציפים). העצמים הנחקרים במסגרת המתמטיקה הבדידה הם, רובם ככולם, קבוצות בנות מנייה.

מתמטיקה בדידה זוכה לפופולריות גוברת מאז החצי השני של המאה העשרים, בזכות שימושיה במדעי המחשב: מחשב ספרתי (להבדיל ממחשב אנלוגי) פועל בצורה בדידה, צעד אחר צעד ובעזרת יחידות בדידות, ולכן למתמטיקה בדידה רלוונטיות גבוהה ליסודות התאורטיים של אופן פעולתו.

ענפים עיקריים הנכללים במסגרת הרחבה של המתמטיקה הבדידה הם: קומבינטוריקה, תורת הגרפים, אלגוריתמיקה ואלגברה בוליאנית.

$\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix}$
קומבינטוריקה	קריפטוגרפיה	תורת הגרפים

[עריכה] מדעי המחשב

מדעי המחשב התאורטיים כולל תחומים מתמטיים אחדים בעלי רלבנטיות גבוהה להבנת מהותם ואופן פעולתם של מחשבים, ובהם תורת החישוביות, תורת הסיבוכיות ותורת האינפורמציה. תורת החישוביות חוקרת את גבולותיהם של מודלים תאורטיים שונים של המחשב, ובכלל זה המודל העוצמתי ביותר הידוע כיום - מכונת טיורינג. תורת הסיבוכיות חוקרת את המשאבים הנחוצים לפתרון בעיות; חלק מהבעיות, למרות שתאורטית ניתן לפתור אותן באמצעות מחשב, דורשות זמן ריצה וזיכרון כה רבים, שפתרונן עתיד להישאר בלתי-ישים, אפילו בהתחשב בהתקדמות המהירה של פיתוח החומרה. לבסוף, תורת האינפורמציה עוסקת בכמות הנתונים שניתן לאחסן על אמצעי-אחסון מסוים, ובמושגים כגון דחיסת נתונים ואנטרופיה.

כנושא חדש יחסית, במתמטיקה דיסקרטית קיימות מספר בעיות פתוחות מהותיות. המפורסמת מתוכן היא האם P=NP.

תורת החישוביות

[עריכה] בסיס תאורטי למחקר במדעי החברה והניהול ובמדעי החיים

מראשית ימיה שימשה המתמטיקה לפתרון בעיות בעולם הממשי, במקביל להתפתחותה העיונית, כמדע העומד בפני עצמו. לאורך הדורות בלט השימוש במתמטיקה לפתרון בעיות בפיזיקה. בעת החדשה, ובפרט במאה העשרים התפתחו ענפי מתמטיקה אחדים המספקים ביסוס מתמטי לפעילויות שההיבטים המעשיים שלהם נחקרים במסגרת מדעי החברה (כלכלה, ניהול) ומדעי החיים (ביולוגיה, רפואה). סטטיסטיקה עושה שימוש בכלים של תורת ההסתברות ומאפשרת תיאור, ניתוח וחיזוי של תופעות שבהן המקרה משחק תפקיד. רוב הניסויים, הסקרים והתצפיות דורשים שימוש מושכל בסטטיסטיקה.^ד[›] חקר ביצועים הוא תחום יישומי נוסף של המתמטיקה המאפשר מציאת פתרונות אופטימליים לבעיות עם משאבים מוגבלים, או החלטות מיטביות בהתאם למידע הקיים. תורת המשחקים משמשת לניתוח מצבי תחרות ועימות.


אופטימיזציה	תורת ההסתברות	סטטיסטיקה	מתמטיקה פיננסית	תורת המשחקים

[עריכה] מתמטיקה והמציאות הגשמית

המושגים והמשפטים במתמטיקה אינם חייבים להתאים לעצמים בעולם הגשמי. אמנם, קיימת התאמה מסוימת, ולמרות שמתמטיקאים ופיזיקאים עשויים לבחור אקסיומות וטענות אשר נראות הגיוניות ואינטואיטיביות, אין זה נחוץ שההנחות הבסיסיות במסגרת מערכת אקסיומטית יהיו נכונות במובן נסיוני או פיזיקלי. מכאן, למרות שמערכות אקסיומטיות רבות נגזרות מתפיסתנו ומניסויים, הן אינן תלויות בהם.

לדוגמה, נוכל לומר כי את המושג הפיזיקלי של שני תפוחים ניתן להסביר באמצעות המודל המתמטי של המספרים הטבעיים - המספר 2. מנגד, נוכל לומר גם כי המספרים הטבעיים אינם מהווים מודל מדוייק, מאחר שלא הגדרנו תקן לתפוח יחיד, ושני תפוחים לעולם לא יהיו זהים לחלוטין. בעיה נוספת במודל היא האפשרות לשברים, כלומר תפוחים חתוכים. לכן, בעוד הדימוי של ההגדרות האקסיומטיות של המספרים הטבעיים כאוספים של תפוחים הינו שימושי לצרכי הוראה, ההגדרה עצמה אינה תלויה או נגזרת מגופים גשמיים כלשהם. אף על פי כן, המתמטיקה היא עדיין כלי שימושי בפתרון בעיות ממשיות.

[עריכה] מעמדה התרבותי והפילוסופי של המתמטיקה

ערך מורחב – פילוסופיה של המתמטיקה

תפיסת המתמטיקה כשפת הפיזיקה, או אפילו כשפתו של אלוהים, היא עתיקה ושורשיה עוד ביוון העתיקה (האסכולה הפיתגורית) ובתקופת הרנסאנס. הפיזיקאי גלילאו גליליי אמר:

	הפילוסופיה - הרי היא כתובה בספר הגדול הפרוש מאז ומעולם לנגד עינינו - כוונתי ליקום - אך איננו יכולים להבין אם איננו לומדים את השפה ותופסים את הסמלים שבהם היא כתובה. שפה זו היא המתמטיקה.

ואילו אלברט איינשטיין תהה:

	כיצד ייתכן שהמתמטיקה, שאיננה אלא פרי מחשבת האדם, ללא תלות בניסיון ובהסתכלות, מסתגלת כל כך יפה למציאות?

מעמדה הייחודי של המתמטיקה העסיק רבות פילוסופים של המדע, בייחוד את עמנואל קאנט, ברטראנד ראסל, דויד הילברט וקורט גדל, שתהו על מעמדן של טענות המתמטיקה וכיצד ניתן להיות בטוחים בוודאותן. שאלה נוספת היא האם המתמטיקה היא מדע, מה שתלוי במידה רבה גם בהגדרת המדע. תחום הפילוסופיה של המתמטיקה התפתח במטרה לנסות ולספק תשובות על שאלות אלו ואחרות.

המתמטיקה היא סמל לחוכמה, שכן היא תורה אלגנטית שמבוססת על היגיון צרוף בלבד. בתרבות הפופולרית (קולנוע, קומיקס וכדומה) אנשים ומדענים גאונים מתוארים בדרך כלל כגאוני מתמטיקה שרושמים נוסחאות מתמטיות ארוכות ומורכבות.

בבתי ספר תיכוניים, מעמדה של המתמטיקה כיום דומה לזה של הלטינית במאה ה-19. מקצוע זה נחשב לאחד המקצועות הקשים, ולאחד מהשנואים על חלק התלמידים. למרות זאת, שליטה במתמטיקה חשובה לכל הלומדים תחומים "ריאליים", שכן היא מהווה את אחד הכלים הבסיסיים שבהם משתמשים בתחומים אלו. פרק החשיבה הכמותית בבחינה הפסיכומטרית בוחן מיומנות מתמטית, ומחזק את חשיבותם של לימודי המתמטיקה לכל הרוצה להמשיך בלימודים באוניברסיטה.

[עריכה] שעשועי מתמטיקה

ערך מורחב – שעשועי מתמטיקה

המשחק המתמטי "מגדלי האנוי". מטרת המשחק היא להעביר את כל הדיסקיות למוט אחר, תחת שני החוקים הללו: מותר להזיז רק דיסקית אחת בכל פעם - כלומר להוציאה מהמוט שבו היא נמצאת, ולהשחיל אותה על מוט אחר; ואסור לשים דיסקית על דיסקית שקטנה ממנה.

שעשועי מתמטיקה הם משחקים, חידות, וקסמים המבוססים על מתמטיקה, וכן נושאים במתמטיקה שאינם דורשים ידע רב ויש בהם מן השעשוע. תחום שעשועי המתמטיקה זכה לדחיפה גדולה במאה ה-19 בזכות פעילותם של החידונאים הגדולים סם לויד והנרי ארנסט דודני. במאה ה-20 התקדם ענף שעשועי המתמטיקה המודרני במידה רבה בזכות פרסום טור בשם "Mathematical Games" (משחקים מתמטיים) על ידי